一類五階微分算子自伴域的解析描述

李鳳軍

(1.內蒙古工業大學 理學院,內蒙古 呼和浩特 010051;2.肇慶學院 數學與信息科學學院,廣東 肇慶 526061）

1 預備知識

微分算子自伴域的解析描述是微分算子領域中的一個重要分支.由于許多應用問題可以用二階微分算子來描述，且偶數階對稱微分算式的系數都是實函數，所以數學工作者關注的焦點主要集中于偶數階算子，關于其自伴域和譜分解的研究成果頗多[1－2,4－8].近年來，隨著對非自伴問題（特別是J－自伴問題）研究的深入，人們也開始關注奇數階微分算子[3,5,7,9].

本文擬在一階和三階微分算子自伴域描述的基礎上，進一步探討五階微分算子自伴域的表現形式，從而為后續研究奇數階微分算子自伴域的問題尋找一條可行途徑.

考慮微分算式

其中:pk(x)∈C∞(I).l(y)在L2[a,b]上生成的最大算子為M，最大算子域為D(M)；最小算子記為M0，最小算子域記為D(M0).

定義1[1]45稱微分算式為l(y)的共軛微分算式.

引理1[1]51設l(y)是[a,b]上的微分算式，則?y,z,有

引理2[1]51若將式(3)中的展開，則可寫成

此時稱Q(x)為l(y)的契合矩陣.

引理3[1]64線性流形D?D(M)為n階正則微分算式l(y)自伴域的充要條件是它的任何函數y都滿足n個獨立的邊界條件，即

其中系數矩陣A＝[αij],B＝[βij]滿足如下條件:

且rank(A｜B)＝n,這里的(A｜B)表示所有的A和B的列矢合在一起得到的一個n×2n階矩陣，Q(x)為l(y)的契合矩陣.

2 五階微分算式的相關性質和結論

討論如下形式的五階對稱微分算式：

其中,q(x)是[a,b]上的實值函數，且q(x)∈L2[a,b].

經過計算可以得到l(y)對應的契合矩陣Q(x),

故

這里Q－1(x)與Q(x)均與x的取值無關.

對五階微分算式l(y)＝iy(5)＋q(x)y賦以邊界條件

生成的微分算子記為L.其中A＝(ai,j)5×5;B＝(bi,j)5×5，記

由引理(3)知邊界條件系數矩陣要滿足（4），且rank(A｜B)＝5.

引理4 若l(y)＝iy(5)＋q(x)y對應的契合矩陣為Q(x)，則

定理1 設l(y)是式（5）表示的微分算式，則由l(y)生成的自伴算子的邊界條件中不存在分離型邊界條件.

證 假設存在分離型邊界條件，由rank(A｜B)＝5知l(y)對應的分離型邊界條件的系數矩陣(A｜B)只能是以下4種形式之一：

對自伴邊界條件的系數矩陣(A｜B)作初等行變換，在第1種情況下可將系數矩陣化為(M｜N)的形式，其中：

Ni代表的矩陣有以上5種類型，這里a11,a12,a13,a14,a15,e,f,g,h為常數.

由計算可知，

當矩陣N＝N1時,計算可得

于是,MQ－1(a)M*≠N1Q－1(b);同理可證MQ－1(a)M*≠NiQ－1(b)，i＝2,3,4,5,故AQ－1(a)A*≠BQ－1(b)B*, l(y)不存在情形(Ⅰ)的自伴邊界條件.

對于情形(Ⅱ)～(Ⅳ)可作類似的證明，同樣可以得出l(y)不存在這幾種情形的自伴邊界條件，從而證明了五階自伴微分算子不存在分離型自伴邊界條件.

定理2 在自伴邊界條件(4)中如果矩陣A可逆，則B可逆；反之若B可逆，則A必可逆.證 不妨假定矩陣A可逆,矩陣B不可逆.對條件（4）的兩端取行列式可得

定理3 l(y)的自伴邊界條件中當系數矩陣A和B均為可逆矩陣時,存在可逆的矩陣K使得自伴邊界條件可表達為Y(a)＝KY(b)的形式，且有KQ－1(a)K*＝Q－1(b).

證 1)由引理3知l(y)的自伴邊界條件的一般形式為

又已知A和B均可逆，則上式兩邊同時左乘A－1得Y(a)＝－A－1BY(b).

取K＝－A－1B,于是可得Y(a)＝KY(b).

因為K＝－A－1B，所以,KQ－1(a)K*＝[－A－1B]Q－1(a)[－A－1B]*＝A－1BQ－1(b)B*(A－1)*＝A－1[BQ－1(b)B*](A－1)*.又由自伴算子滿足條件（4）知BQ－1(b)B*＝AQ－1(a)A*,故

其中,I為五階單位陣.下面討論一下自伴邊界條件的具體表達形式.

由KQ－1(a)K*＝Q－1(b)，可以得到

因此，1)當Kij≠0,i,j＝1,2,3,4,5時，有

2)當K1j＝0,j＝1,2,3,4,5時，有rank(K)≤4，這與已知條件K可逆及rank(K)＝5矛盾,這種情形不存在.

3)K1j＝0(j＝1,2,3,4),K15≠0時,邊界條件可表示為

其中,f1到f10,f0,a均為復平面上非零常數且滿足如下關系式：

上面只討論了幾類特殊情形，其他情形可進行類似討論.

作者對導師王忠教授和傅守忠老師的精心指導表示衷心感謝！

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