金融數學專業實變函數教學方法探析

柏萌

（肇慶學院 數學與信息科學學院,廣東 肇慶 526061）

2008級金融數學班是肇慶學院數學與信息科學學院設置金融數學專業后招收的首屆學生，筆者于2010—2011年下半學期給他們講授實變函數這門專業課.在授課及與學生座談的過程中，筆者發現如下幾個問題：1)多數金融數學專業的學生對自身定位不甚清楚，一些學生不喜歡學習數學知識，對比較復雜深奧的理論課有抵觸情緒；此外，由于學生數學分析的功底較為薄弱，因而對要用到許多數學分析知識的實變函數課的學習熱情不高.2)大多數實變函數的教材偏難且偏重于基礎知識，所需的學時多，但其中缺乏與金融數學所需的概率和測度知識的聯系，不適合金融數學專業的學生學習.3)從作業和考試情況看，部分學生解題能力欠缺.

金融數學專業學生的后續課程有概率論和隨機分析.從發展角度來看，不論將來就業還是繼續攻讀研究生，實變函數都是一門重要的基礎課，學生要從這門課中學到對自己專業發展有用的知識.目前的許多實變函數教材割裂了實變函數與概率論及隨機分析的聯系.許多學生也對學習這門課的意義及重要性認識不足，認為要花費很多時間和精力學習如此難學的課程不值得，有的學生甚至干脆放棄了這門課的學習.此外，作為一般性本科院校，我校的生源質量一般，學生數學分析的功底也相對薄弱.例如：在講授Lebesgue積分時，要比較Riemann積分與Lebesgue積分的關系，但許多學生頭腦中已經對Riemann積分沒有概念.在平時學習過程中，不少學生無法按時完成作業，且許多作業存在驚人的雷同現象.考試時，學生則只會做平時課上講過的題目，對稍有變化的題目缺乏舉一反三的能力.

針對上述問題，筆者進行了一些研究和反思，并通過實踐總結出幾點教學經驗和體會.

1 應該加強實變函數與概率論及隨機分析的聯系

實變函數與概率論、隨機分析這2門課的聯系非常緊密，對于金融數學專業的學生而言更是如此，絕不能將實變函數與概率論及隨機分析割裂開來，要將他們作為一個統一的整體來對待.現代概率論是前蘇聯數學家Kolmogorov在20世紀30年代基于測度理論的基礎重新建立的，要理解概率公理化體系，就必須要理解一般空間上的抽象測度，所以在講解Lebesgue測度知識的同時要引入抽象測度.雖然理解抽象測度的定義需要用到代數中環的概念，但是由于學生此時也在學習抽象代數課程，因此他們理解起來并非很困難.另外，概率論和隨機分析中的許多概念，從實變函數的角度能理解更深層次的含義.例如：概率中的隨機事件對應測度中的可測子集；隨機變量對應可測函數；數學期望對應可測函數對測度的積分；對于離散型隨機變量和連續型隨機變量的理解，也都可以統一在可測函數這一概念之下[1－4].教師在講述實變函數課中上述概念的時候，可以適當列舉一些概率論和隨機分析中的例子.

2 教學內容應當生動形象

實變函數課程的內容比較抽象和枯燥，筆者在教學中努力采用生動有趣的語言與便于理解的例子，力求生動形象、由淺入深，能吸引學生的注意力.在講授實變函數第1章中最重要的概念“基數”時，筆者首先講了一個原始人計數的故事：在人類文明的早期階段，原始人不會數數，自己家有1只羊，就在樹上畫1道線，于是樹上的線條數與他家羊的數目就對應了.現在有很多東西我們無法計數，如無窮多個自然數，還有連續不斷的實數；但我們可以向原始人學習，找一些集合來與其對應，這就是“基數”的概念.學生聽過這個故事后，對“基數”這個概念印象就比較深刻.比如：在證明“已知A＝｛a1,a2,…,an,…｝是可數集，B＝｛b｝是單元素集，且A∩B＝?，求證A∪B～A”這道習題時，需要構造如下映射φ:A∪B→A,這個映射的構造是實變函數中重要的解題思想，但是對于剛入門的學生來說，理解起來相對比較困難.為了便于學生理解，筆者采用了Hilbert的生動例子：有個旅館共有可數無窮個客房，每個客房能且只能住1位旅客.現在這個Hilbert旅館已經滿員了，但是又來了1位旅客，旅館老板想到一個解決辦法.設原來的房客為a1,a2,…,an,…，新來的客人為b，安排如下：b住1號房，a1住2號房，a2住3號房，…，an住n＋1號房，于是大家就都能住下了[5].在比較Lebesgue積分與Riemann積分的優越性時，筆者選取了Lebesgue曾用過的店員數法郎的例子[6]5.用Riemann積分的方法數錢是將所有的錢加起來；而用Lebesgue積分數錢時，則需將錢按面值分類：所有1元面值錢的集合為E1，則1元面值錢的個數為mes(E1)；所有2元面值錢的集合為E2，則2元面值錢的個數為mes(E2)；所有5元面值錢的集合為E5，則5元面值錢的個數為mes(E5)；…總金額則為1×mes(E1)＋2×mes(E2)＋5×mes(E5)＋….當錢的數目較少時，采用這2種方法的差別不大；但是當這些“和”的總數為無窮時，這2種方法的區別就顯現出來.筆者還例舉了[0,1]上的Dirichlet函數在Riemann積分意義下不可積，而其在Lebesgue積分意義下則可積.通過列舉這些實例，學生對學習實變函數的興趣和信心都得到了強化，感覺這門課的內容與現實生活貼近，不再覺得其抽象、枯燥和乏味.

3 正確處理定理及其證明

實變函數中的定理特別多，表述抽象且證明煩瑣冗長，教師必須從學生的實際情況出發，正確處理定理的講授與詮釋.對于一些不太重要而證明過難的定理，教師不必按部就班地講解定理及其證明，只選用經典實例幫助學生理解即可.例如：講解“基數無最大”這個定理及其證明時，可以引用“理發師的悖論”代替定理的抽象證明過程[7].對于比較重要的定理，要讓學生深刻理解其所述內容；掌握定理中每個條件的意義和作用，其中哪些條件不可或缺，哪些條件是可以替換的；定理是否可逆，逆命題是什么，若不可逆的話，能否舉出相應的反例.例如：在講授Egorov定理時，教師應舉例說明“集合測度小于無窮”這個條件不能缺少，還要舉例說明其結論不能進行如下修改：存在可測集E0?E，滿足μ(E＼E0)＝0，使得在E0上fn(x)一致收斂到f(x)[8].在講解Lusin定理時，可將Lusin定理的逆定理作為課后作業布置給學生思考.教師在講述定理證明時，重在講解清楚證明思路，最好是將定理的證明過程分解為一個個小目標.在講述Egorov定理的證明時，可以將證明過程分成2個目標：第1步，找到集合A，使得函數列fn(x)在集合A上一致收斂于f(x)；第2步，描述集合A，使得E＼A的測度很小[6]66.在實變函數課的教學中，教師還要特別注意定理的聯系和區別，對定理進行分類，方便學生掌握.例如：在講完Levi定理、Fatou引理和Lebesgue控制收斂定理后，比較這3個定理的條件和結論，這樣有利于學生理解和掌握定理.

4 精心設計習題課

學生感到實變函數課難學的一個重要原因是習題難度大，大部分為需要抽象思維的證明題.如果學生不能順利解答作業習題，長此下去會產生嚴重的心理負擔，滋生厭學情緒，不利于他們對實變函數知識與概念的鞏固復習；因此，教師精選習題并上好習題課，對于學生掌握解決實變函數問題的典型方法、分解難點及增強學習信心十分必要[9].教師在選擇習題時要注意題量和難度適中，選擇的題目要符合“雙基”原則，即選擇運用基本方法解決基本知識點的問題.教師講解習題的過程中要注意調動學生的主觀能動性，多采用啟發式和提問式教學，爭取讓學生勤動腦、多動手，鍛煉和培養學生的思維能力，增加他們解完習題后的成就感.教師還要注意總結解題過程中所用到的知識點和解題技巧，及時點撥學生；此外，教師還要注意在學生解題過程中鍛煉其嚴謹的數學思維，培養學生使用準確、嚴格的數學語言描述數學問題.總之，通過習題講解，教師既要幫助學生鞏固所學知識，又要培養他們多方面的數學技能，全面提升其學習能力.

[1] 楊明歌.芻議實變函數課的“承上啟下”的作用[J].重慶電子工程職業學院學報，2009，18（3）:102-105.

[2] 周性偉.講授實變函數課的點滴體會[J].高等理科教育，2000(1):42-45.

[3] 趙秀云.改革實函“測度論”一章的設想[J].數學教育學報，1996(3):60-61.

[4] 金淑良.改革“測度論”教學的實驗情況[J].齊齊哈爾師范學院學報，1989(1):55-57.

[5] 陳澤安.怎樣使“實變函數”教學生動形象[J].益陽師專學報，1991(2):78-79.

[6] 鄧東皋，常心怡.實變函數簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[7] 師建國，趙中.優化實變函數教學的類比、建構主義思想淺析[J].天中學刊，2010，25（2）:78-79.

[8] 宋叔尼，張國偉，王曉敏，等.實變函數與泛函分析[M].北京：科學出版社，2007:36.

[9] 徐西安.改進實變函數教學的一些方法[J].山東教育學院學報，2006，21（4）:103-105.