公切球式岔管相貫線為平面曲線的證明

摘 要:本文以一個圓柱面和一個斜圓臺面相交的公切球式岔管為例，證明公切球式岔管的相貫線為平面曲線。以某輸水泵站鋼岔管的設(shè)計為例說明該結(jié)論的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞:公切球 岔管 相貫線 平面曲線

中圖分類號:O242文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2012)01(a)-0223-01

1 引言

公切球式鋼岔管在水利水電、熱力、油氣管線等工程中應(yīng)用很廣泛。在工程設(shè)計實(shí)踐中一般假設(shè)公切球式鋼岔管為無厚度空間曲面，則兩個岔管的相貫線為平面曲線。這個結(jié)論應(yīng)用很廣泛，但卻少見有證明。本文以一個圓柱面和一個斜圓臺面相交的公切球式岔管為例證明這一結(jié)論。

2 原理

定理1:設(shè)二次曲線方程

a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a3=0(a211+a212+a222≠0) (1)

令I(lǐng)2=，I3= (2)

若I2<0，I3=0，則方程(1)所示二次曲線為一對相交直線(變態(tài)雙曲線)。

3 證明

本文選用的公切球式岔管的形式如圖1所示。主管為圓柱面，半徑為R;支管為斜圓臺面。公切球半徑為r。顯然r=R。

圖1 公切球式岔管縱剖面示意圖

如圖1所示笛卡爾坐標(biāo)系中，z軸與z’軸重合，垂直于紙面，則圓柱面方程為

y2+z2=R2 （3）

而斜圓臺面方程在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系x’y’z’為

y’2+z’2=[(x’-k)tana]2 （4）

其中a為斜圓臺面的旋轉(zhuǎn)角。

(5)

坐標(biāo)系x’y’z’與xyz的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(6)

其中θ為x’y’z’坐標(biāo)系x’軸在xoy平面相對x軸的旋轉(zhuǎn)角。

將(6)代入(4)，可整理得斜圓臺面在xyz坐標(biāo)系的方程為

x2(sin2θ-cos2θtan2a)-2xysinθcosθ(1+tan2a)+y2(cos2θ-sin2θtan2a)+z2+2kxcosθtan2a+2kysinθtan2a-k2tan2a=0 (7)

將(3)代入(7)，即z2=R2-y2

整理為

x2(sin2θ-cos2θtan2a)-2xysinθcosθ(1+tan2a)-y2sin2θ(1+tan2a)+2kxcosθtan2a+2kysinθtan2a+

R2-k2tan2a=0 (8)

為圓柱面(3)與斜圓臺面(4)的相貫線在xoy平面上的投影

令a11= sin2θ-cos2θtan2a

a12=-sinθcosθ(1+tan2a)

a22=-sin2θ(1+tan2a)

a1=kcosθtan2a

a2=ksinθtan2a

a3=R2-k2tan2a

則(8)變?yōu)?/p>

a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a3=0 (8-1)

將a11、a12、a22、a1、a2、a3的表達(dá)式代入定義式(2)，并整理得

I2= (9)

I3=-

=

(10)

對于公切球式岔管，r=R

故 (11)

代入(9)，可得 I3=0

由于I2<0，方程(8-1)所示空間曲線滿足定理1的條件，是一對相交直線。從而證明圓柱面(1)與斜圓臺面(4)的相貫線是平面曲線。

4 應(yīng)用實(shí)例

圖2為某輸水泵站帶月牙肋的公切球式鋼岔管半結(jié)構(gòu)有限元建模示意圖，兩管的內(nèi)表面符合上述證明的條件。因此在利用殼體單元對其進(jìn)行有限元建模時就可以利用上述結(jié)論，將位于兩管相貫線的月牙肋板按平面模擬。利用AutoCAD等輔助設(shè)計軟件，即可方便地模擬月牙肋板結(jié)構(gòu)。

圖2 某輸水泵站帶月牙肋的公切球式鋼岔管半結(jié)構(gòu)

建模示意圖

5 結(jié)語

本文通過對公切球式岔管相貫線方程和其幾何特點(diǎn)的推導(dǎo)，證明了公切球式岔管相貫線為平面曲線的結(jié)論。此證明解決了設(shè)計者對此結(jié)論的疑惑，同時其思路及推導(dǎo)過程中的相關(guān)方程亦可為設(shè)計者所參考。

參考文獻(xiàn)

[1]沈永歡.等，實(shí)用數(shù)學(xué)手冊，科學(xué)出版社，1992.8.