高等數學中極限概念教學的思考

摘 要:在分析高等數學極限概念的教學難點的基礎上，結合具體的教學實踐，給出了極限概念的教學對策。

關鍵詞:高等數學 極限概念 教學

中圖分類號:G64文獻標識碼:Ａ文章編號:1674-098X(2012)01(a)-0133-01

極限概念是微積分學的奠基概念之一，微積分中幾乎所有的重要概念，如連續、導數、定積分、重積分、級數等的定義都是建立在極限概念的基礎上。極限概念是學習高等數學過程中遇到的第一個較難理解的概念，正確理解和掌握極限的概念和極限的思想方法是學好高等數學得關鍵，也是教學中的重點和難點。

1 極限概念學習困難的原因初步分析

極限概念學習困難的原因主要來自以下兩方面的矛盾:一是極限概念本身的特點;另一是學生自身的特點。

1.1 極限概念的特點

極限概念的形成，經過的抽象層次較高，深刻性也較高，學習這一概念時，需要用到原有的數學認知結構中的相關概念，進行正確的心理表征，以建立概念的邏輯運演。因此，極限概念的抽象程度較高。此外，極限概念的定義，邏輯結構也比較復雜，符號很多，并且它們之間的數量關系錯綜復雜，學生很難掌握。

1.2 學生自身特點

大一新生剛進入大學，對于大學的學習方法和教師的教學方法都還沒有適應。大學當中有大量的學習任務是要求學生自己獨立完成的，這就要求學生有較強的自學能力，這一點對于大多數的大一新生都是難以達到要求的。因此，在極限概念的學習中出現各種問題也就在情理之中了。

2 極限概念的教學對策

對于極限概念的教學，我們可以從以下幾個方面入手。

2.1 介紹數學史，做好鋪墊導入

從數學史的角度來闡述極限的萌芽、發展到完善的過程。這樣不僅能讓學生認識到極限在高等數學中的重要性，更能讓他們對數學的本質有更深刻的認識。通過介紹數學史的小故事來引入極限概念。例如:戰國時期《莊子·天下篇》惠施說:“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”以及劉徽的“割圓術”都體現了極限思想。通過上述例子的講解，讓學生了解極限就是為了求實際問題的精確解而產生的。

2.2 由直觀描述性定義過渡到精確定義

極限概念從描述性定義到定量形式的轉化，是教學中的關鍵和重點。在教學中我嘗試按下列過程逐步使學生掌握極限概念:

第一步:舉出幾個無窮數列的例子，讓學生觀察數列的規律，引導學生總結出極限的描述性定義:“如果當無限增大時，無限接近于，那么就是這個數列的極限”。

第二步:指出描述性定義中的“無限增大”和“無限接近”的含義不確切，不能滿足數學理論上的推導。將“無限接近”改成“距離無限減小”，而距離可以用絕對值表示。因此，將描述性定義換一種說法:“如果當無限增大時，無限減少，那么就是這個數列的極限”。進一步把“無限減少”的意思嚴格化，所謂的無限減少就是“要多小就有多小”，給出任意一個正數，總能小于。

第三步:通過例子將“無限增大”和“無限減少”結合起來，即得到嚴格定義。“當無限增大時，無限接近”即只要足夠大，。

若取，則存在，只要時，;若取，則存在，只要時，。于是就得到數列極限的定量定義:設是一個數列，為確定的常數。如果對于任意給定的正數(無論它有多小)，總存在正整數，使得對時的一切，不等式都成立，則稱是數列的極限，或稱數列收斂于，記做或。

2.3 利用幾何意義形象的理解概念

著名數學家華羅庚先生曾經指出:“數缺形時少直觀，形少數時難入微”;“數形結合百般好，割裂分家萬分休”。“數”與“形”往往可以同構，所以數形結合可幫助我們深刻而全面地理解概念，通過對極限概念的幾何意義的說明，可以加深學生對極限概念的理解和掌握。

2.4 適當調整教材中有關極限內容的結構順序

關于極限的內容，目前幾乎所有的教材都是這樣的順序:先講數列極限，然后講函數當時的極限，再講函數當時的極限。數列極限與函數當時的極限，在概念的文字表述上和邏輯上都有很大差別，直接引入容易引起學生認知上的困難。具體教學過程中，可以改變這一順序，將函數當時的極限提到函數當時的極限的前面。

在學生對數列概念較為熟悉以后，啟發引導學生利用函數概念作為中介，將數列看成是定義在正整數集上的函數，，在此基礎上用與數列極限相類比的方法，建立一一對應關系，自己給出函數當時的極限的定義。，，，當時，成立。將換成，將換成以上表述為，，，當時，成立。這實際上是將數列極限統一到了函數極限概念之下。

3 由理論到實踐使認識逐步提高

一個學生能把概念背得滾瓜爛熟，不一定表明他已獲得概念，真正意義上的獲得概念，就是運用概念做出判斷和推理，能夠根據概念解決數學問題。在教學中引導學生利用極限定義證明函數極限，加深學生對極限概念的理解。

例:用數列極限定義證明

證明:對于，要使，只需，取。當時，成立。即

高等數學當中很多重要的概念都是由極限定義的，在后續的函數的連續性、導數、定積分等概念的講解時要有意識的用比較的方法，借助于定理、反例、公式等，明確它們之間的聯系和區別，建立一個正確的概念網絡，從而全面、深入、透徹的掌握極限概念。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系主編.高等數學上冊第五版[M].北京:高等教育出版社，2002.

[2] 王樹禾.數學思想史[M].北京:國防工業出版社，2003.