幾何畫板在高中數學教學中的應用

摘 要 幾何畫板在高中代數教學中的應用，有利于研究函數的性質，提高課堂效率；幾何畫板在高中立體幾何教學中的應用，有利于豐富學生的空間想象力，更好地解決立體幾何中的問題；幾何畫板在高中平面解析幾何教學中的應用，把幾何圖形生動地展現在學生面前，從而使學生直觀看到點的變化，能進一步的培養學生利用數形結合來解決解析幾何問題的能力。

關鍵詞 幾何畫板；高中數學；動畫演示

幾何畫板不僅是一種教學工具，更是學生學習數學的有效學習工具。幾何畫板強大的動態教學演示功能，把抽象的數學概念、知識，形象地呈現在學生的面前，使學生充分參與教學過程，真正成為學習的主人。

1 幾何畫板的應用，有利于研究函數的性質

“函數”是中學數學代數中最基本、最重要的部分，它的概念和思維方式滲透在整個高中數學的各個環節，而且函數本身就是用來反映現實世界里的一種以動態形式存在的數量之間的關系。函數有兩種重要的表達方式：解析式和圖象。在高中數學教學中，在研究函數的一些重要的性質（如：函數的單調性、奇偶性、最值；函數的圖象和其反函數的圖象之間的關系；等等）時，常常把函數的這兩種表達方式對照著來解決一些數學問題。傳統教學為了解決這些數形相結合的數學問題，往往徒手作圖，不是很精確，而且速度較慢；但利用幾何畫板則可以快速、精確、直觀地顯示出來，這樣可以大大提高課堂效率，進而起到事半功倍的效果。

在研究同類函數的性質時，通常要在同一個平面直角坐標系中，根據函數的解析式作出一個或多個函數的圖象，通過函數圖象的比較對學生進行函數性質的教學。如在研究指數函數的圖象和對數函數的圖象之間的關系（實質是函數的圖象與其反函數圖象之間的關系）時，在傳統教學中常在黑板上作出兩個函數的圖像，但在講其圖象關于直線對稱時就比較困難了。然而利用幾何畫板既可以在同一個平面直角坐標系中作出它們的圖象，同時可以從指數函數上任取一點且作出該點關于直線的對稱點，通過點的運動，觀察點的運動，很容易發現點始終落在對數函數的圖象上。這樣使學生更清晰、更直觀地得到指數函數的圖象與對數函數的圖象之間的關系：關于直線對稱（即函數的圖象與其反函數的圖象關于直線對稱的性質）。

又如在講解函數的作用時，傳統教學中往往只能作出幾個不同取值時的函數圖象，并通過這種靜態的函數圖象來讓學生說出作用，往往學生的抽象歸納不是很準確。但利用幾何畫板，則可以通過設立3個參線段（線段的長度隨拖運線段的一個端點而發生變化），并建立平面直角坐標系作出函數的圖象。在分別改變線段的長度時，通過圖形的逐漸變化，讓學生可以直觀地分別認識到函數的作用，并作出較為準確的歸納。這樣既可以培養學生歸納事物的能力，同時又可以在教育教學過程中變得快速靈活，又不失一般性。

幾何畫板除了在函數教學方面的應用以外，在高中代數的其他教學方面也有很多用途，如解決方程和不等式的解，講解數列的函數意義（即一個由離散點組成的函數圖形），等等。

2 幾何畫板在立體幾何教學中的應用，有利于豐富學生的空間想象能力

立體幾何是以公理為基礎的，根據圖形的點、線、面的關系來研究三維空間圖形的性質。在教學過程中通常是在一個平面中作出一個三維空間的圖形，而由于多數學生缺乏豐富的空間想象能力，且依賴于二維平面圖形的直觀感，從而這部分學生往往把平面中的三維空間圖形直觀地看成二維的平面圖形，但二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，因此在解決三維空間圖形問題時往往產生嚴重的偏差。為了引導學生走出這個誤區，在以往的教學中，通常拿實物對學生進行講解，并逐步引導學生走近平面中的三維空間圖形，逐步培養學生的空間想象能力，速度較慢。而利用幾何畫板可以通過拖運一些點，使平面中的三維空間圖形運動起來，從不同的角度把三維空間圖形中各個元素之間的位置關系和度量關系生動地展現在學生的面前，從而把學生的直觀認識和抽象認識巧妙地聯系起來，這樣更能幫助學生理解和接受在平面中的三維空間圖形，更能培養學生的空間想象能力，從而使學生更能接受立體幾何的知識，能更好地解決立體幾何中的問題。

如在講解正方體的作圖過程中，可以利用幾何畫板對平面中所作的正方體進行旋轉、翻轉（拖運點），讓學生清晰地看到現實生活中正方體在旋轉、翻轉過程中所能見到的面及面的視覺圖形，這樣更能幫助學生把自己的所見作到平面中去，正確地在平面中作出正方體的三維空間圖形。

又如在講解用分割三棱柱來求三棱錐的體積時，利用幾何畫板在三棱柱中作出割面的不同顏色，拖運其中被分割出來的三棱錐，從而把整個抽象的分割過程活靈活現地展現在學生的面前，再利用祖暅原理求出三棱錐的體積，避免了由于學生的空間想象能力的缺乏而不能理解，同時又培養了學生用分割幾何體的方法來求其他幾何體的體積的能力。

3 幾何畫板在平面解析幾何教學中的應用，有利于培養學生利用數形結合來解決解析幾何問題的能力

平面解析幾何的實質是利用代數的方法來研究平面幾何問題的一門數學學科，其中最基本的就是求點的軌跡問題。而求點的軌跡的基本思路和基本方法是：1）根據已知條件，建立適當的平面直角坐標系；2）在軌跡上任取一點，且設點的坐標；3）列出相關的恒等式，并化簡恒等式；4）得到軌跡的方程。通過建立點的軌跡方程，把所研究的平面曲線轉化為研究數的問題，再通過解決數的問題來解決平面曲線的問題，但是曲線與方程之間的對應關系比較抽象，學生不是很能理解，但通過幾何畫板利用點的運動把幾何圖形生動地展現在學生面前，從而使學生直觀看到點的變化，也可以容易決定如何建立適當的平面直角坐標系。

如在講解求拋物線的標準方程時，在黑板上先作出一條定直線和一個定點，但要作出一系列到定直線的距離和到定點的距離相等的點，相當困難。而通過利用幾何畫板很容易作出對應的一個動點，拖運點，并對點進行追蹤就可以得到點的軌跡——拋物線，并通過拋物線頂點的特殊位置，容易使學生在拋物線的頂點處建立平面直角坐標系，且對稱軸為一條坐標軸，同時利用拋物線的定義很容易得到拋物線的標準方程。

又如在研究直線和半圓的交點的個數問題時，利用幾何畫板在一個平面直角坐標系中作出半圓，而直線是指在取值不同時的一組平行直線，可以利用幾何畫板在軸上任取一點，且過點作出直線，通過拖運點，就能得到一組動態的直線，同時使學生直觀地看到直線與半圓的交點的變化情況，較容易得出結論。這樣能進一步地培養學生利用數形結合來解決解析幾何問題的能力。

運用幾何畫板一方面可以讓學生形象直觀地理解知識的發生和發展的各個環節，另一方面也讓學生對動畫演示過程產生比較深刻的印象，從而更容易地理解和掌握所數學知識，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力。

參考文獻

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（作者單位：河北省滄州市中捷產業園區高級中學）