確定隱含波動率的總變分正則化方法
2012-01-01 00:00:00王守磊楊余飛
湖南大學學報·自然科學版 2012年4期
摘 要：求解隱含波動率是一個典型的PDE反問題，傳統的Tikhonov正則化方法往往導致解的過度光滑化.基于波動率的跳躍性、隔夜周末效應等及總變分正則化方法具有較好地保持圖像邊界的優點，本文以BlackScholes理論為框架，把確定隱含波動率問題轉化為一個拋物型方程的終端問題，進一步提出求解隱含波動率的總變分正則化方法，并證明了解的存在性.
關鍵詞：歐式看漲期權；隱含波動率；BlackScholes方程；總變分正則化；Tikhonov正則化
中圖分類號：O175.26 文獻標識碼：A
Total Variation Regularization Method for Determining Implied Volatility
WANG ShouLei，YANG Yufei
(College of Mathematics and Econometrics， Hunan Univ， Changsha， Hunan 410082， China)
Abstract: Implied volatilities are more efficient in the longterm prediction of volatilities than the series models. Solving the implied volatility is a typical PDE inverse problem. The traditional Tikhonov regularization method may oversmooth the solution. Considering the jump， overnight， weedend effect of the volatility and the advantage of the total variation regularization which preserve the edge of the restored image， we put the problem of determining the implied volatility into a parabolic equation of the terminal problem under the BlackScholes theoretical framework， propose the total variation regularization method and prove the existence to the solution.
Key words:European call options;implied volatility;BlackScholes equation;total variation regularization;Tikhonov regularization
波動率是金融經濟分析中非常重要的變量， 投資組合選擇、資產定價及風險管理等都離不開對波動率的準確度量. 傳統的BlackScholes公式［1］以及新興的美式期權定價公式中股價波動率的統計推斷問題在金融方面有相當重要的應用， 一直是人們致力于研究的問題. BlackScholes理論體系中有一個假設， 認為原生資產波動率σ為常數. 然而在實際市場中， 波動率是變化的［2］.
不同敲定價格和不同期限的期權定價得到的原生資產的隱含波動率σ為S，t的二元函數. 如何運用期權市場的報價來獲取有關未來原生資產波動率的信息是一個典型的PDE反問題， 也稱為IPOP(the inverse problem of option pricing). 一般而言， 反問題是不適定的. 正則化策略是求解不適定反問題的一類重要方法， 而應用最廣泛的是Tikhonov正則化方法， 通過加入的正則項對解進行約束或起穩定性的作用.
針對單變量σ=σ(S)的情形， Isakov， Ngnepieba和Jiang等建立了求解隱含波動率的Tikhonov正則化模型， 并給出了穩定性、解的存在(唯一)性等理論分析; 針對σ=σ(S，t)的情形，Lagnado和Osher， Carl等， Crepey， Egger和Engl等提出了求解隱含波動率的Tikhonov正則化策略. 然而， 傳統的Tikhonov正則化方法可能改變原問題的實時性質( 求正則化近似解時， 用未來的值求現在的值 )或導致解的過度光滑化， 這些缺點在圖像處理問題中表現為在復原圖像邊界處出現模糊. 為此， Rudin等［3］基于總變分(TV)正則化具有較好地保持圖像邊界的優點， 提出了下面的TVL2模型(也稱為ROF模型):
min u∈Ωλ2‖u－f‖2L2(Ω)+|
SymbolQC@u|L1(Ω).
該模型能得到非光滑解， 因而能較好地保持復原圖像銳利的邊界.
考慮到TV正則化的優點， 本文結合TV正則化策略提出求解BlackScholes模型中隱含波動率的總變分正則化方法.主要研究如何運用BlackScholes理論框架， 從期權市場獲取的信息去重構在風險中性測度意義下原生資產價格的過程， 也就是導出原生資產價格的隱含波動率.
1 總變分正則化方法
以歐式看漲期權為例， 本文只討論σ依賴于S， 而與t無關的情形， 即σ(S，t)=σ(S). 在風險中性測度下， 原生資產價格演化的隨機過程可修改為:
dSS=(r－q)dt+σ(S)dwt.
q為紅利率，從而歐式看漲期權U(S，t，K，T)適合下列定解問題: 對于(S，t)∈R+×［0，T］， 有
Ut+12σ2(S)S22US2+(r－q)SUS－rU=0.(1)
U(S，t，K，T)|t=T=max (S－K，0)≡(S－K)+.
本文研究期權定價反問題， 即通過當前市場報價
U(S0，t，K，T)=U*(K，T)，K∈R+，T＞0
湖南大學學報(自然科學版)2012年
第4期王守磊等:確定隱含波動率的總變分正則化方法
來確定σ(S). 該問題最早由Dupire［4］提出， 并得到σ的一個顯示表達式， 但該表達式對數據的變化異常敏感， 是不適定的， 因此必須對它進行必要的修改. 該問題可表述為問題1:
設U(S，t，K，T)為歐式看漲期權的定價， U適合式(1)， 當S=S0，t=0時， 已知
U(S0，t，K，T0)=U*(K)，K∈R+，
式中T0＞0， U*(K)為關于K的已知函數， 如何確定σ=σ(S)?.
考慮到期權平均價格包含更多的市場信息， 問題1進一步修改為問題2:
設U(S，t，K，T)為歐式看漲期權的定價， 并且U適合式(1)， 假設當S=S0，t=0時， 已知
1T0∫T0U(S0，t，K，T)dT=U*(K)，K∈R+.
式中T0＞0， U*(K)為關于K的已知函數， 如何確定σ=σ(S)?.
式中:1T0∫T0U(S0，t，K，T)dT的金融意義是指0到T0這一段時間所有固定敲定價格和不同到期日的期權價格U的平均， 即平均期權價格.
對于問題2， 可按照Dupire提出的思路， 利用Green函數性質將其轉化為一個“終端”控制問題:
設U(S，t，K，T)為歐式看漲期權的定價， 令
G(S，t，K，T)=2UK2，
則G滿足
Gt+12σ2(S)S22GS2+(r－q)SGS－rG=0， (2)
G(S，t，K，T)=δ(K－S). (3)
因為δ(x)=δ(－x)， 因此G(S，t，K，T)為式(2)的基本解. 因而G作為K和T的函數為式(2)的共軛問題的基本解， 即對T∈(t，+
SymboleB@)和K∈(t，+
SymboleB@)滿足
GT=122K2(K2σ2(K)G)－(r－q)K(KG)－rG， (4)
G(S，t，K，T)|T=t=δ(K－S). (5)
對式(4)關于K進行兩次積分， 可得
UT=12K2σ2(K)UKK－(r－q)KUK－qU，
U(S，t，K，T)|T=t=(S－K)+，
(T，K)∈(t，+
SymboleB@)×(0，
SymboleB@).
于是求σ=σ(S)的問題進一步轉化為問題3：
U(K，T):=U(S0，0，K，T)滿足定解問題：
UT=12K2σ2(K)UKK－(r－q)KUK－qU，
U(K，T)|T=0=(S0－K)+，
(T，K)∈(t，+
SymboleB@)×(0，
SymboleB@).
假設函數1T0∫T0U(S0，t，K，T)dT=U*(K)已知， 如何求σ=σ(S)?
作變換
y=ln KS0，τ=T，V(y，τ)=U(S0，0，K，T)S0，
并令a(y)=12σ2(K) (記T=T0)， 實際市場中， 假設K為有界的， 即假設y∈［A，B］， 記區間為Ω，則V(y，τ)滿足如下問題: 對于y∈Ω， τ∈(0，T］，有
Vτ－a(y)(Vyy－Vy)+(r－q)Vy+qV=0， (6)
V(y，0)=(1－ey)+，y∈Ω.(7)
1T∫T0V(y，τ)dτ=V*(y).
這里V*(y)=U*(K)S0.
本文將V(y，τ)看作關于a(y)的非線性算子并且假設它是連續的，基于波動率的跳躍性，隔夜周末效應等及總變分正則化方法在圖像處理中的優點，提出求隱含波動率的總變分正則化方法:
求∈Λ使得
T()=min a∈Λ12∫Ω|1T∫T0V(y，τ)dτ－
V*(y)|2dy+N2J(a)+μ2G(a)，
式中:
J(a)=∫Ω|
SymbolQC@a|dy，G(a)=∫Ω|
SymbolQC@a|2dy.
N和μ都是正則項系數， 當a為單變量函數時，
SymbolQC@為a'，其它情形表示梯度算子， C為常數，Λ={a(y)|0≤a≤C，
SymbolQC@a∈Lp(Ω)，1≤p≤2}，V(y，τ)是式(6)和式(7)中任意給定a∈Λ所對應的解. 考慮到平坦區域|
SymbolQC@a|≈0， 利用|
SymbolQC@a|β=|
SymbolQC@a|2+β2代替|
SymbolQC@a|， 這里β為很小的數. 從而相應的總變分正則化問題修改為
T()=min a∈Λ12∫Ω|1T∫T0V(y，τ)dτ－
V*(y)|2dy+N2Jβ(a)+μ2G(a)，(8)
式中:Jβ(a)=∫Ω|
SymbolQC@a|2+β2dy.
據Lp范數的定義， 極小化問題(8)等價于:
T()=min a∈Λ12‖1T∫T0V(y，τ)dτ－V*(y)‖2L2(Ω)+
N2Jβ()+μ2‖
SymbolQC@a‖2L2(Ω)， (9)
極小化問題式(9)與標準的Tikhonov正則化完全不同， 因為∫Ω|
SymbolQC@a|2+β2dy涉及到了無界變分. Groetsch［5］在Tikhonov方法基礎上提出逼近無界變分算子的概念， 通過L(I+γL*L)－1La近似La， 其中L(I+γL*L)－1L:D(L)H1→H2是從Hilbert空間H1映射到Hilbert空間H2的封閉無界線性算子.
這個“穩定”的算法中， L*為L的伴隨算子(Hilbert空間H1和H2)， γ為正則化參數. 通過引入Groetsch的思想來逼近極小化問題(9)，
SymbolQC@a用穩定的近似Lγa=L(I+γL*L)－1La來代替， 其中L*是L的L2伴隨， 這樣式(9)就演變為如下極小值問題:
T()=min a∈Λ12‖1T∫T0V(y，τ)dτ－V*(y)‖2L2(Ω)+
N2Jβγ(a)+μ2Gγ(a). (10)
我們也可以用其它有界算子來替代a→
SymbolQC@a，例如差商和有限元方法。已知Ω=［A，B］為R中有界區域， 在接下來的存在性證明中進一步假設Lγ:L2(Ω)→L2(Ω)，γ＞0是有界線性算子.
2 解的存在性
引理1［6］若序列{an}弱收斂于a*， 則序列{an}對應于式(6)和式(7)的解{V(an)}弱收斂于V(a*).
引理2［7］設1≤q≤
SymboleB@. {fk}在Lq(Ω)中弱收斂于f， 當且僅當
1）{fk}在Lq(Ω)中有界;
2）lim k→
SymboleB@∫Efkdx=∫Efdx對每個可測集EΩ成立.
推論1 若序列{an}有弱收斂的子序列{anl}， 則{an}相對應的{∫T0Vn(y，τ)dτ}亦有弱收斂子序列{∫T0Vnl(y，τ)dτ}.
定理1 對于極小化變分問題:
T()=min a∈Λ12‖1T∫T0V(y，τ)dτ－V*(y)‖2L2(Ω)+
N2Jβγ(a)+μ2Gγ(a).
至少存在一個極小元∈Λ.
證明 假設不存在極小值， 則存在一組序列{an，Vn}，使得
12‖1T∫T0Vn(y，τ)dτ－V*(y)‖2L2(Ω)+
N2Jβγ(an)+μ2Gγ(an)→q:=
inf a∈Λ{12‖1T∫T0V(y，τ)dτ－V*(y)‖2L2(Ω)+
N2Jβγ(a)+μ2Gγ(a)}.
但對a∈Λ， 有
q＜12‖1T∫T0V(y，τ)dτ－V*(y)‖2L2(Ω)+
N2Jβγ(a)+μ2Gγ(a)，
即q為序列的下確界， 但序列不能取到q. 因為序列{an}在Lp(Ω)中有界， 所以它在Lp(Ω)中有弱收斂的序列{am}收斂于， 又因為我們假設Lγ是有界線性算子， 所以它在Lp(Ω)中同樣弱連續Lγam收斂于Lγ， 并且對應的Vn有相應的弱收斂子列Vm收斂于， 由范數的弱下半連續性:
12‖1T∫T0(y，τ)dτ－V*‖2L2(Ω)≤
12lim inf ‖1T∫T0Vm(y，τ)dτ－V*‖2L2(Ω)，
∫Ω|Lγ|2dy≤lim inf ∫Ω|Lγam|2dy.
因此存在序列{am，Vm}的子序列組{aml，Vml}， 使得
lim l→
SymboleB@‖1T∫T0Vml(y，τ)dτ－V*‖2L2(Ω)≤
lim m∈Ν inf ‖1T∫T0Vm(y，τ)dτ－V*‖2L2(Ω)，
lim l→
SymboleB@∫Ω|Lγaml|2dy≤lim m∈Ν∫Ω|Lγam|2dy.
根據文獻［8］，凸函數f(x)=|x|2+β2滿足
|x|2+β2=sup |y|≤1x·y+β1－|y|2.
則有
∫Ω|Lγ|2+β2≤sup v∈∫ΩL*γv+β1－|v|2，
式中v∈:={v∈L2(Ω，R):|v|≤1}.
對于所有的v∈
∫ΩL*γv+β1－|v|2=
lim l→
SymboleB@∫ΩamlL*γv+β1－|v|2≤
lim sup l→
SymboleB@∫Ω|Lγaml|2+β2，
進而有
∫Ω|Lγ|2+β2≤lim sup l→
SymboleB@∫Ω|Lγaml|2+β2.
綜上所述， 有
12‖1T∫T0(y，τ)dτ－V*‖2L2(Ω)+
N2∫Ω|Lγ|2+β2dy+μ2∫Ω|Lγ|2dy≤
lim sup l→
SymboleB@{12‖1T∫T0Vml(y，τ)dτ－V*‖2L2(Ω)+
N2Jβγ(aml)+μ2Gγ(amm)}≤q.(11)
式(11)與假設矛盾. 所以存在極小值， 證畢.
3 結 論
以BlackScholes理論為框架， 從期權市場獲取的信息去重構在風險中性測度下原生資產價格的過程， 在Tikhonov正則化方法的基礎上， 將總變分正則化方法引入到隱含波動率的求解模型中， 提出了基于總變分正則化方法的最優控制模型;通過極小化目標函數來求解原生資產價格的隱含波動率， 并證明了解的存在性定理. 總變分正則化模型較Tikhonov正則化模型有利于保持跳變邊緣， 從而更加精確地度量隱含波動率.參考文獻
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