基于投資的我國再保險預測性定價新探討

摘 要 從系統的觀點出發，把保險公司的賠付情況與投資收益結合，對非比例再保險建立在一類在較弱的市場假設條件下進行投資的線性正倒向隨機微分方程的改進模型.根據一類特殊線性倒向隨機微分方程的顯式解，加入時間序列預測方法，給出了基于投資的非比例再保險定價公式，為保險公司厘定非比例再保險的保費提供新的可行性方法.

關鍵詞 非比例再保險定價；倒向隨機微分方程；It微分公式；時間序列預測；ARIMA模型

中圖分類號 F842.6；O29 文獻標識碼 A

The Predictive Pricing Research of Reinsurance of China Based on Investment

ZHENG Lu-jie

(Renmin University of China School of Information，Beijing 100872)

Abstract Combining the payment of insurance companies and investment income， this paper builds an improved model on the linear forward-backward stochastic differential equations in the context of investment with a class of weak conditions based on non-proportional reinsurance. According to the explicit solution of a special class of linear backward stochastic differential equations， and taking into account time series forecasting methods， this paper gives the insurance pricing formula based on investment and provides a new feasible method of the non-proportional reinsurance pricing for insurance companies.

Key words non-proportional reinsurance pricing; backward stochastic differential equations; ；It differential formula; the prediction of time series; the model of ARIMA

1 引 言

隨著市場快速發展以及后金融危機對中國的潛在影響，人們對于風險的規避需求愈來愈強烈，我國保險業得到了長足的發展.在國外，保險資金的風險投資理論相當成熟［1，2］，在實際操作中也有深入的應用［3］.作為新興市場經濟體國家，我國保險市場發展速度非常迅速，到2009年末保險業總資產額高達40 634.75億元，而2005年末保險也總資本額僅為15 298.69億元，同比增長165.6%，2009年末全國保費收入更是突破萬億，11 137億元，這在2005年末僅為4 930億元，同比增長125.9%［4］.無論按照國際保險業償付能力標準還是我國保險法規定的風險承受能力比例，基于我國再保險業薄弱的基礎［5，6］，不難發現保險業整體償付能力有很大的風險.

再保險也稱分保，是針對保險人所承擔的危險賠償責任的保險，也就是對原保險的再次保險，以保證自身業務的穩定性［7］.所以再保險的主要功能就是風險分散.非比例再保險是再保險的一種，以賠款為基礎來確定再保險當事人雙方的責任的分保方式.相對與傳統的比例分保，非比例再保險不僅能解決因數量多、保額小、責任積累和賠款多帶來的風險問題，而且簡化了分保手續.同時比例分保無法徹底分散巨災風險，非比例再保險則在易于發生風險積累和巨災風險的保險業務中逐漸占據重要地位.最近幾年我國自然災害和意外事故頻發，巨災風險存在和蔓延導致的償付壓力挑戰我國再保險機制［8］.而且再保險周期性波動的價格使得再保險人只能在不同的時期采用不同的定價策略，以維持穩定的業績.這就需要高超的定價技術和不斷改進的財務安排.

本文是以非比例再保險定價為切入點展開.保險定價是保險工作的核心.傳統的再保險定價往往重與公司經營風險的賠付情況而未注意到它的投資收益情況［9］， 因此按此方法厘訂的保險費往往不能反映公司的自身的實際情況.所以，研究如何優化再保險公司利用再保險費收取與保險賠償之間的時滯對收取的該再保險費的風險投資是一個值得深入研究的領域.

倒向隨機微分方程（BSDE）已比較成熟的應用于期權定價和證券組合當中，成為很好的風險投資工具［10］.目前，BSDE在保險定價方面的應用逐漸受到重視，由于倒向隨機微分方程是在給定了隨機終值的情況下， 來確定現在應作的投資， 非常類似于期權價格的制定. 因此， 可借助于倒向隨機微分方程對再保險進行定價，這對保險公司提高在市場上的競爭力大有益處.

本文旨在從系統的觀點［11］出發，把保險公司的賠付情況與投資收益結合，對非比例再保險建立在一定條件的投資背景下的線性正倒向隨機微分方程.根據一類特殊線性BSDE的顯式解，引入時間序列預測，給出了基于投資的比例分保定價公式，為再保險公司厘定非比例再保險的保費提供新的可行性方法.

2 預備知識

設(Ω，F，P）是一概率空間，w(t)，t≥0是概率空間(Ω，F，P）上的d－維Wiener過程；Ft=σ［w(s)，s≤t］是由Wiener過程w(t)，t≥0產生的σ域族{Ft}，任一個σ域Ft都是完備化的.如果對任一個t∈［0，∞)，x(t)是關于Ft可測的隨機變量，那么稱隨機過程x(t)=x(w，t)為Ft－適應的.若E∫T0|x(t)|2dt＜∞，其中|x(t)|=(∑ni=1|xi(t)|2)12表示Euchlid范數，則稱

x(t)=x(w，t)為平方可積隨機過程.Ft－適應的平方可積隨機過程全體記為M(0，T，Rn).

引理1 （It公式微分形式）［12］

假設dxi(t)=bi(t)dt+σi(t)dwi(t) （i=1，2，…，m)，函數G(x1，…，xm，t)以及它對t的一階導數、對x的二階導數關于(x，t)連續，這里

x=(x1，…xm)∈Rm，t≥0，wi(t)(i=1，2，…，m)是相互獨立的Wiener過程.那么函數G(x1，…，xm，t)滿足下隨機微分方程（SDE）

dG(x(t)，t)=［Gt(x(t)，t)+∑mi=1Gxi(x(t)，t)bi(t)

+12∑mi，j=1Gxixj(x(t)，t)σi(t)σj(t)］dt

+∑mi=1Gxi(x(t)，t)σi(t)dwi(t)，（1）

其中G的下標表示對相應變量的偏導數.

考慮BSDE

－dy(t)=g(t，y(t)，z(t))dt－z(t)dw(t)，y(T)=ξ.（2）

其中(y(t)，z(t))分別是取值Rm和Rm×d平方可積的適應過程，即

(y(t)，z(t))∈M(0，T，Rm×Rm×d)，0≤t≤T

引理2

假設

g(t，y(t)，z(t))=f(t)+a(t)y(t)+b(t)z(t)，其中f(t)，a(t)∈M(0，T，R)，

b(t)∈M(0，T，Rd)，且a(t)，b(t)均有界.再假設x(s)是如下It公式的解

dx(S)=x(s)［a(s)ds+a(s)dw(s)， s∈［t，T］

x(t)=1，（3）

則對任何ξ∈L2(Ω，P，FT，R)，下面的BSDE

－dy(t)=［a(t)y(t)+b(t)z(t)+f(t)］dt

－z(t)dw(t)，y(T)=ξ（4）

有唯一解，且解的形式為［14-15］

y(t)=E［(ξx(T)+∫Ttf(s)x(s)ds|Ft］.（5）

3 非比例再保險定價模型

鄧志民、張潤楚［16］在這方面進行了一定的深入研究，但是也存在很大的改進空間：1）非比例保險定價中期末t=T時索賠率與自留額度的計算基本上通過求過去平均值得到，有一定的合理性，但是定價僅依賴于單一的求往期平均值的方法使得定價風險很大.在時間序列預測日趨成熟的條件下數據采集可以得到改進.2)關于對非比例再保險索賠率的定性問題，索賠率不再看作是一隨機變量.從隨機變量的嚴格定義［17］出發，把索賠率作為隨機變量等于期末t=T時的非函數值是不合適的.而且在實際情況下是無法找出對應精確的密度函數與具體情形匹配，用歷史數據來求其相應的數學期望是非常明顯的錯誤，在此基礎上對非比例再保險定價公式的推導也必然會出現偏差.鑒于此種情形，引入時間序列預測是完全有必要的，因為非比例再保險價格在一定程度上是保費的投資收益對未來風險的一種補償差.通過對歷史數據（即一列時間序列）的預測求出未來的索賠率，進而導出非比例再保險定價公式.對歷史數據的收集，主要針對要定價的保險產品的期限而定，如產品期限是一年，搜集對應保險產品的每年索賠率即可.（3）到目前幾乎所有的相關研究給出的算例假設條件過于苛刻，無法說明并解決實際問題，下面將基于一般性模型基礎上推導出新的結論，給出具有可操作性的定價模型實證分析.

考慮在風險投資下的非比例再保險定價數學模型.基本思路為：

1）假設金融市場有且僅有兩類資產，即無風險資產和風險資產.不考慮交易費用，稅收和紅利，有方程：

dx0(t)=r0x0(t)dtdx1(t)=r1x1(t)dt+σx1(t)dw(t).（6）

x0(t)，x1(t)分別表示無風險資產和風險資產價格，r0，r1分別表示無風險資產收益率和風險資產預期收益率，σ表示風險資產波動率，σw(t)表示在時刻t風險投資回報中不確定的部分.

2）設原保人承保期限為T、索賠率為ξ、投保者的保險額為Q的保險.注意，這里它不是隨機變量.在非比例再保險合同下，原保險產品的價格為P，再保險價格為P1，原保險人承擔自留額度為m的風險min (ξ，m)，再保險人承擔剩余的風險max (0，ξ－m).在期初t=0時刻，出經營費用和再保險保費外，公司剩余資金為［(1－h)P－P1］Q，在期末，公司面臨損失為y(T)=min (mQ，ξQ).為了彌補這些損失，公司必須將期初的剩余資金投資于風險市場，以最大限度轉移風險，確保正常的經營.

3）在t=0時刻，(1－h)P－P1投資于風險市場，總資產額將隨時間變化而變化，記作y(t)，則有y(0)=(1－h)P－P1.設公司在t時刻總資產額y(t)分為兩部分：一部分y(t)π(t)投資于有風險資產，另一部分y(t)［1－π(t)］投資于無風險資產，其中π(t)∈［0，1］表示t時刻投資于風險資產上的比例.在不考慮交易費用、稅收和紅利的情況下，由前面的It微分公式，可根據如題假設將其代入式（6），得總資產額y(t)滿足微分方程：

dy(t)=［r0+(r1－r2)π(t)］y(t)dt

+σπ(t)y(t)dw(t)，y(0)=［(1－h)P－P1］Q.（7）

令z(t)=σπ(t)y(t)， r=r1－r0，則式（7）變成

dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt

+z(t)dw(t)，y(0)=［(1－h)P－P1］Q.

當P1變化時，相同投資方式下y(T)也隨之變化從而在期末有y(T)=min (mQ，ξQ)

綜上所述可得新的非比例再保險定價的正倒向隨機微分方程：

dx(t)=x(t)［r1dt+σdw(t)］，dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt+z(t)dw(t).

x(0)=［(1－h)P－P1］Qπ(0)，

y(T)=min (mQ，ξQ).（8）

在總資產額y(t)滿足方程(8)的基礎上，推導非比例再保險的價格P，它還要滿足y(0)=［(1－h)P－P1］Q.

4 非比例再保險定價公式的推導

與原保險一樣，同樣假設保險公司是風險中性的，在上述保單規定下，若其資產所滿足的倒向隨機微分方程為

dy(t)=［r0y(t)+rσz(t)］dt+z(t)dw(t)，y(T)=min (mQ，ξQ)， ξ∈(0，1］，（9）

其中w(t)，t≥0是標準Wiener過程，r0，r，σ＞0如前所述.則非比例再保險定價公式為：

P1=(1－h)P－min (m，ξ)exp (－r0T).

證明 假設x(s)是如下隨機微分方程的解：

dx(s)=x(s)［－r0ds－rσdw(s)］，

s∈［t，T］x(t)=1

由引理2，從式（8）中可以看出a(t)=－r0，b(t)=－rσ，f(t)=0.所以由式（9）有

y(t)=E［min (mQ，ξQ)x(T)|Ft］，

可以看出當t=0時，

y(0)=min (m，ξ)QE［x(T)］.（10）

在這里ξ和Q一樣被看作是常量，且

y(0)=［(1－h)P－P1］Q，（11）

所以，式(10)與式（11）聯立有：

P1=(1－h)P－min (m，ξ)E［x(T)］.

接下來只需證明E(x(T)］=exp (－r0T)即可，具體推導可參見參考文獻［18］.

5 預測估計

時間序列是指一個依照時間順序組成的觀察數據的集合.進行時間序列預測分析［19］需要大量的歷史數據，而我國再保險業的發展與國外比較還是非常短的.為了能保證數據量，僅對期限為一年的產品進行分析預測.本文先后采用了指數平滑模型和ARIMA模型進行對ξ時間序列的分析和預測.在這里說明一下，整體看來ξ先作為估計量通過時間序列預測獲取相應的值，在此基礎上在前面的理論推導當中ξ作為常量，直接得出非比例再保險的定價公式.

指數平滑法用序列過去值加權均屬來預測將來值，并且給序列中近期的數據以較大的權重，遠期數據給以較小的權重.該方法的主要優點之一是比較直觀，另外還有一個重要的優點是在時刻t，只需要知道實際數值和本期預測值就可以預測下一個時間的數值，即t+1=αzt+(1－α)t，其中α為平滑參數.但是，指數平滑法也存在問題：它適用于隨時間消逝呈水平發展的序列.ARIMA模型是一族自回歸滑動平均時間序列模型模型，ARMA模型有分為AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p，q).一般的建模分四步：1)序列的平穩化處理；2)模型識別，主要通過讀ACF，PACF圖形把握模型的大致方向，為目標定階；3)參數估計和診斷，主要是討論模型的擬合優度統計量和殘差分析結果；4)預測部分，得到最終的預測結果［20］.

6 實證分析

目前，大部分相關研究給出的例子假設條件太強，沒有貼合實際的實例分析，不利于相關理論的深入展開和應用.由于保險公司的相關數據作為商業機密不對外公開，所以下面盡可能采用相關數據，進行實證分析.

根據證券公司的“重點關注的無風險金融產品”的數據，取國債收益率1997~2003年的平均值為無風險收益率，取r0=3.1%.T=1，h=10%，賠款額自留M為200萬元.某保險公司的保險產品歷年賠款額和保險金額的數據見表1［21］：

先對索賠率源數據進行分析并生成序列圖進行觀察.從圖1可以看出：1)有線性趨勢.2)時間段較短，曲線平穩趨勢還不是很清晰.以上結果顯然不滿足序列平穩的條件，所以要把不平穩的時間序列轉換成平穩的時間序列，去除趨勢，對其分別進行差分處理和加入自然對數轉換處理，由統計軟件顯示加入自然對數后從波動范圍（坐標尺度）和平穩度上是優良的.

年份/年圖1 索賠率源數據的序列圖

那么根據上面分析，先對索賠率ξ源數據列采用指數平滑模型進行時間序列預測，由軟件運行結果顯示最優預測值為ξ=4.06‰.但顯著性Sig＞0.5數據顯示擬合效果不理想，下面采用ARIMA模型.

用統計軟件生成如下關于索賠率ξ源數據列的自相關系數圖，由于前面對原始數據進行了平穩化，所以在求相關系數是已加入自然對數轉換，從圖2可以看出時間序列的自相關函數（ACF）圖在延遲數=2時呈遞減.圖3中偏自相關函數（PACF）在p=0時就在上下限之內小幅波動遞減，這是平穩序列的特點.由于數據序列較短，談論不同模型下的擬合優度統計量的普遍偏大，經多次反復嘗試后， ARIMA模型取值P=2，d=0，p=0時的Akike準則下和Schwarz下的貝葉斯準則相對最小.

圖2 自相關圖

又由于沒有季節性，所以該模型的最后參數確定后為ARIMA(2，0，0)，確定模型后運算得出的結果4.11%，并生成擬合預測圖進行觀察，在該模型下，ξ最佳預測值為4.11‰.

圖3 偏自相關圖

軟件生成的非線性擬圖顯示用該模型進行預測擬合效果非常好.進一步殘差檢驗，從圖4可以看出殘差處于正常波動范圍，滿足ARIMA模型要的白噪聲條件，又有前面的相關系數分析，說明預測估計取得了較佳的結果.根據上述預測結果推斷，第8年該保險的索賠率呈下降趨勢.

圖4

根據原保險定價公式［22］給出原保險價格，計算得:P=4.98‰.同樣對第8年的保險金額按上述預測方法進行預測，使用最優模型為ARIMA(2，1，0)，最佳預測值為103 756萬元，則m=1.93‰.所以min(m，ξ)=1.93‰，由本文推導的非比例再保險有：P1=2.94‰

以上價格數據是基于賣方最優原則進行的再保險定價，為保險公司提供理論上的非比例再保險價格，決策者可在此基礎上根據宏觀經濟形勢、買方市場需求和相關市場條件等外在因素進行綜合定價.

7 結 論

從實證分析得出的預測數據表明該套算法具有理論支持和較強的操作性，本文給出了新的定價理論推導，嚴格驗證了通過時間序列預測的不同方法和模型更好地服務于再保險定價當中，而不必過于處理索賠率作為隨機變量的分布密度函數問題而陷于復雜設計情形，這也體現了效率最優原則.

另外我國保險業發展時間較短，測算需要的各種基礎數據的時間序列較短，加之保險數據的搜集困難和整理不完整，符合測算要求的時間序列的基礎數據容易出現偏差，直接增大了保險定價的風險［23］.所以保險公司應加大對保險精算的投資，建立專門的人才研發隊伍，加強數據的搜集和整理的完善，對不同情況下的保險定價問題進一步深入研究是當務之急.本文從新的角度出發，不強制要求索賠率服從某一特殊分布，給出較弱的市場假設條件盡可能符合實際情形，給出進行風險投資的一般的非比例再保險定價公式模型，并提出一種結合了時間序列預測與倒向隨機微分方程的新的定價方法，同時通過實證分析論證該定價方法可行性，僅供行業內參考.參考文獻

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