具有隨機(jī)利率、隨機(jī)變差的最優(yōu)投資和聯(lián)合比例超額損失再保險(xiǎn)

Optimal Investment and Combined ProportionalExcess of Loss

Reinsurance with Stochastic Interest and Stochastic Volatility

YANG Peng1， LIN Xiang2

(1.Department of Basic， Xijing College， Xi’an， Shaanxi 710123;

2. School of Mathematics， Central South University， Changsha， Hunan 410075 )

Abstract For jumpdiffusion risk model， we considered the problem of optimal investment and reinsurance. The insurance company can purchase reinsurance for claims and invest the surplus in a riskfree asset and a risky asset. We assume that the form of reinsurance is a combined proportionalexcess of loss reinsurance. We also assume that the riskfree asset has stochastic interest and the risky asset has both stochastic interest and stochastic volatility. By solving the corresponding HamiltonJacobiBellman(HJB) equation， the closedform expressions for the value function as well as the optimal investment and reinsurance policy were obtained. Especially， through an example we interpreted the results more specifically.

Key words stochastic control; HamiltonJacobiBellman(HJB) equation; Jumpdiffusion risk model; stochastic interest; Stochastic volatility

1 引 言

最近，在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中應(yīng)用隨機(jī)控制的理論來(lái)解決最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題，已經(jīng)成為一個(gè)研究熱點(diǎn).對(duì)于擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，Jeanblanc，Shiryaev［1］，Asmussen，Taksar［2］，Hjgaard， Taksar［3］，考慮了到破產(chǎn)時(shí)刻為止的期望折現(xiàn)紅利.Browne［4］，Taksar，Markussen ［5］，Bai ，Guo［6］等研究了最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)策略.對(duì)于經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型，Hipp，Plum［7］，Schimidli［8，9］研究了最小化破產(chǎn)概率.對(duì)于跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程， Yang，Zhang［10］， Lin［11］研究了最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)策略.

Browne［4］首先研究了擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)投資問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了最大化終值財(cái)富的最優(yōu)投資策略.Bai ，Guo［6］對(duì)擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，獲得了使終值財(cái)富的指數(shù)效用最大的投資和再保險(xiǎn)策略.對(duì)跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，Irgen， Paulsen［12］，獲得了使終值財(cái)富的指數(shù)效用最大的投資和再保險(xiǎn)策略.Yang ， Zhang［10］，對(duì)跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型獲得了使終值財(cái)富的指數(shù)效用最大的投資策略，但沒(méi)有考慮再保險(xiǎn).

目前，有許多學(xué)者研究風(fēng)險(xiǎn)模型具有隨機(jī)利率或隨機(jī)方差的情形.Liu［13］研究了一個(gè)投資問(wèn)題，他假設(shè)股票的價(jià)格是Heston’s模型.Li ， Wu［14］研究了最優(yōu)投資問(wèn)題，他們考慮了隨機(jī)利率、隨機(jī)方差的情形，獲得了最優(yōu)策略以及值函數(shù)的顯示表達(dá).

對(duì)于再保險(xiǎn)的方式，大多數(shù)文獻(xiàn)只研究比例再保險(xiǎn)的情形.本文考慮的為聯(lián)合比例超額損失再保險(xiǎn)；形式也就是，當(dāng)保險(xiǎn)公司的理賠比較小時(shí)采用比例再保險(xiǎn)，當(dāng)保險(xiǎn)公司的理賠比較大采用超額損失再保險(xiǎn).同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)還含有泊松跳，利率和方差都是隨機(jī)的.本文的目標(biāo)是，尋找最優(yōu)的投資和再保險(xiǎn)策略使保險(xiǎn)公司的期望終值財(cái)富最大.通過(guò)應(yīng)用隨機(jī)控制的理論，構(gòu)造了財(cái)富過(guò)程滿足的HJB方程.進(jìn)一步，得到了最優(yōu)策略以及最大化終值財(cái)富期望效用的顯示解.

2 模型和HamiltonJacobiBellman 方程

2.1 模型

本文假設(shè)，交易中不考慮交易費(fèi)用和稅收；所有資產(chǎn)是無(wú)窮可分的；交易連續(xù)進(jìn)行.為了數(shù)學(xué)上更為嚴(yán)格，假設(shè)所有的隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程都定義在完備的概率空間Ω，F(xiàn)，P，滿足通常條件，也就是Ft右連續(xù)且P－完備.

考慮如下的跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型

dUt=αdt+βdW1t－d∑N1ti=1Si，(1)

其中 α＞0是保險(xiǎn)公司單位時(shí)間的保費(fèi)收入；{Si，i=1，2，…}是一列獨(dú)立同分布的(嚴(yán)格)正值隨機(jī)變量， Si表示第i次賠付的大小；{N1(t)，t≥0}是參數(shù)為λ1＞0的泊松過(guò)程，表示到時(shí)刻t為止的總的索賠發(fā)生次數(shù)；{W1t，t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，β≥0是常數(shù)，表示擴(kuò)散變差參數(shù).此外，假設(shè){Si，i=1，2，…}， {N1(t)，t≥0}和{W1t，t≥0}之間是相互獨(dú)立的.{U(t)，t≥0}為保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余.

現(xiàn)在對(duì)模型(1)，采取聯(lián)合比例超額損失再保險(xiǎn)，則盈余過(guò)程變?yōu)?/p>

dRt=pα－1+qxkλ1ρpDtdt

+pβdW1t－d∑N1ti=1min pT1，iSi，DT1，i， (2)

這里T1，i是N1的第i次跳. pt 是t時(shí)刻保險(xiǎn)公司進(jìn)行再保險(xiǎn)的保留額，假設(shè)pt是非負(fù)可料的.Dt 是超額損失再保險(xiǎn)的超出點(diǎn)，假設(shè)Dt是非負(fù)可料的.超額損失再保險(xiǎn)的保費(fèi)假設(shè)是：

1+qxkλ1ρpDt

=1+qxkλ1EptS－Dt+Ft－，(3)

這里 qxk是安全負(fù)載，α+=max0，α，ρpDt是時(shí)刻t發(fā)生理賠時(shí)，從超額損失再保險(xiǎn)中獲得的期望收益.對(duì)于常數(shù)p和D有

ρpDt=defEpS－D+=p∫∞D/pSxdx，(4)

這里Sx=1－FSx，第二個(gè)等式通過(guò)分部積分獲得.

假設(shè)金融市場(chǎng)由兩種資產(chǎn)組成：一個(gè)是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，時(shí)刻t 時(shí)價(jià)格記作B(t)；另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)刻t 時(shí)價(jià)格記作P(t)，B(t)假設(shè)滿足下面的方程

dB(t)=rtB(t)dt， (5)

這里利率rt 是隨機(jī)的，滿足下面的CIR模型

drt=θ－crtdt+σ0rtdW0t， (6)

且初值r0＞0，W(0)t:t≥0 是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，σ0、θ、c是常數(shù)滿足 2θ＞σ20，P(t)滿足下面的隨機(jī)微分方程

dP(t)=P(t)rt+kηtdt+σ1ηtdW(2)t+d∑N2ti=1Wi，(7)

其中W(2)t:t≥0 是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，假設(shè)W(0)t:t≥0、W(1)t:t≥0、W(2)t:t≥0相互獨(dú)立，N2t是強(qiáng)度為λ2的泊松過(guò)程，ηt滿足另一個(gè)CIR模型

dηt=b－aηtdt+σ1ηtdW2t . (8)

初值η0＞0，b，a，σ1 是正常數(shù)滿足2b＞σ21.

設(shè)πt 是保險(xiǎn)公司在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資的比例，把πt，pt，Dt 作為控制變量.在任意時(shí)刻t≥0， π=πt，p=pt和D=Dt由保險(xiǎn)公司選擇.一旦策略pt，Dt，πt確定，則盈余過(guò)程變?yōu)?/p>

dXt=［Xt(rt+kπtηt)+pα－(1+qxk)λ1ρp(Dt)］dt

+σ1XtπtηtdW2t+βptdW1t+πtXtd∑N2ti=1Wi

－d∑N1ti=1min pT1，iSi，DT1，i，(9)

X0=x.

定義1 稱策略 pt，Dt，πt 是可行的，如果pt，Dt，πt非負(fù)使(9) 有唯一的強(qiáng)解，且對(duì)于某常數(shù)K＞0滿足下面的不等式

Pt+πtXt－＜K1+Xt－. (10)

2.2 HamiltonJacobiBellman (HJB) equation

假設(shè)投資者的目標(biāo)是最大化時(shí)刻T時(shí)財(cái)富的期望效用.設(shè)效用函數(shù)為ux=xδ， 顯然有u′＞0，u″＜0.

本文的目標(biāo)是尋找最優(yōu)的值函數(shù)

Vt，η，r，x=sup p，D，πEXp，D，πTδXp，D，πt=x(11)

和最優(yōu)策略 p*，D*，π*使得

Vp*，D*，π*t，η，r，x=Vt，η，r，x.

這里 0＜t＜T， Xp，D，πt是在策略p，D，π下的財(cái)富過(guò)程.

從Vt，η，r，x滿足的HJB著手來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.

定理1 假設(shè)Vt，η，r，x由 (11) 定義，在0，∞上二階連續(xù)可微.則Vt，η，r，x 滿足下面的HJB方程：

supp，π{Vt+［x(r+kπη)+pα－(1+qxk)λ1ρp(D)］Vx

+12σ21x2π2η+p2β2Vxx+b－aηVη

+12σ21ηVηη+σ21xπηVxη+θ－crVr+12σ20rVrr

+λ1E［V(t，η，r，x－min {pS，D})－V(t，η，r，x)］

+λ2E［V(t，η，r，x+πxW)－V(t，η，r，x)］}=0. (12)

邊界條件

VT，η，r，x=xδ， (13)

其中Vt，Vx，Vxx分別為V關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)，關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)和關(guān)于x的二階導(dǎo)數(shù).

定理的證明參考Fleming ，Soner［15］中的第四章.

定理2 設(shè)W∈C2是一個(gè)滿足HJB方程(12)和邊界條件(13)的單調(diào)遞增、凹函數(shù)，則式(11)定義的最大期望財(cái)富Vt，η，r，x恰好等于W.若p*，D*，π*使得

supp，π{Wt+［x(r+kπ*η)+p*α－(1+qxk)λ1ρp(D*)］Wx

+12σ21x2π*2η+p*2β2Wxx+b－aηWη

+12σ21ηWηη+σ21xπηWxη+θ－crVr+12σ20rWrr

+λ1E［W(t，η，r，x－min {p*S，D*})－W(t，η，r，x)］

+λ2EWt，η，r，x+π*xW－Wt，η，r，x}=0. (14)

對(duì)于0≤x＜∞，0≤t＜T.則 (p*，D*，π*)是最優(yōu)的策略，也就是

Wt，η，r，x=Vt，η，r，x

=VP*，D*，π*t，η，r，x.

3 跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)

本節(jié)求解HJB方程(12)滿足邊界條件(13)的解.與Li ，Wu ［14］相似，設(shè)值函數(shù)滿足表達(dá)式

Wt，η，r，x=ft，η，rxδ， (15)

其中，對(duì)于所有的η 和 r，fT，η，r=1.

把式(15)帶入HJB方程(12) ，然后設(shè)p=mx，D=nx，有

supm，n，π{ft+［r+kπη+mα－1+qxkλ1ρpn］δf

+12σ21π2η+m2β2δδ－1f+b－aηfη

+12σ21ηfηη+σ21πηδfη+θ－crfr+12σ20rfrr

+λ1fE1－min {mS，n}δ－1

+λ2fE1+πWδ－1}=0. (16)

現(xiàn)在設(shè)f(t，η，r)=φ(t)exp {φ(t)η+h(t)r}，邊界條件φ(T)=1和 φ(T)=h(T)=0，則 (16)變?yōu)?/p>

supm，n，π{φ′+［φ′η+h′r］φ+［r+kπη+mα

－1+qxkλ1ρpn］δφ+θ－crφh

+12σ21π2η+m2β2δδ－1φ

+b－aηφφ+12σ21ηφφ2+σ21πηδφφ

+12σ20rφh2+φλ1E1－min {mS，n}δ－1

+φλ2E1+πWδ－1}=0. (17)

下面尋找最優(yōu)策略m*，n*，π*使(17) 最大.

引理 1 設(shè)

f1m，n=12m2β2δ(δ－1)+mαδ

－δ1+qxkλ1ρpn

+λ1E1－min {mS，n}δ－1， (18)

f2π=kπηδ+12σ21π2ηδ(δ－1)

+σ21πηδφ +λ2E1+πWδ－1，(19)

則有下面的結(jié)論

1)存在m*和n*(可能取無(wú)窮) 使得fm，n在m*，n*處獲得最大值.

2)存在一個(gè)有限的π*使gπ在π*處獲得最大值.

證明 參考I(xiàn)rgens，Paulsen［12］定理3.1證明的方法，在這里不再證明.

把m*，n*，π*帶入式(17) 獲得

φ′+(φ′η+h′r)+φ［r+kπ*η+m*α

-(1+qxk)λ1ρp(n*)］δφ

+12(σ21π*2η+m*3β2)δ(δ-1)φ

+(b-aη)φ+12σ21ηφ2+σ21π*ηδφ

+(θ-cr)φh+12σ20rφh2

+φλ1E［(1-min{m*S，n*})δ-1］

+φλ2E1+π*Wδ－1=0. (20)

也就是

［φ′+σ21π*δ－aφ+12σ21φ2+12σ21π*δδ－1

+δkπ*］φη+h′－ch+12σ20h2+δφr+φ′

+{b+θh-12m*3β2δ(1-δ)+m*αδ

-(1+qsk)λ1ρp(n*)δ+λ1E［(1+q*S)δ-1］

+λ2E1+π*Wδ－1}φ=0.(21)

然后，只需要解下面三個(gè)常微分方程即可：

φ′+σ21π*δ－aφ+12σ21φ2

+12σ21π*δδ－1 +δkπ*=0，

φT=0， (22)

h′－ch+12σ20h2+δ=0，hT=0， (23)

φ′+{b+θh-12m*2β2δ(1-δ)+m*αδ

-(1+qxk)λ1ρp(n*)δ+λ1E［(1+q*S)δ-1］

+λ2E1+π*Wδ－1}φ=0. (24)

解得式(22)，式(23)，式(24) 如下

φt=ξ1ξ2exp σ212ξ1－ξ2T－t－1ξ2exp σ212ξ1－ξ2T－t－ξ1. (25)

滿足條件

2σ21δkπ*＜1σ41σ21π*δ－a+π*δ1－δ

ξ1=－1σ21σ21π*δ－a

－1σ41σ21π*δ－a2－π*δδ－1+2σ21δkπ*，

ξ2=－1σ21σ21π*δ－a

+1σ41σ21π*δ－a2－π*δδ－1+2σ21δkπ*，

ht=ζ1ζ2exp σ202ζ1－ζ2T－t－1ζ2exp σ202ζ1－ζ2Y－t－ζ1.(26)

這里

ζ1=cσ20－cσ202－2δσ20，

ζ2=cσ20+cσ202－2δσ20，

δ＜c22，

φt=exp {bΦT－Φt

+θHT－Ht +gm*，n*，π*T－t} ，(27)

其中Φt=∫t0φsds，Ηt=∫t0hsds，

gm*，n*，π*=-12m*2β2δ(1-δ)+m*αδ

-(1+qxk)λ1ρp(n*)δ+λ1E［(1+q*S)δ-1］

+λ2E［(1+π*W)δ-1］.

所以，有

Wt，η，r，x=exp {b［Φ(T)－Φ(t)］

+θ［H(T)－H(t)］+g(m*，n*，π*)(T－t)

+φ(t)η+h(t)r}xδ. (28)

知道Wt，η，r，x是HJB方程(12)滿足邊界條件(13)的解.所以，有下面的定理

定理3 對(duì)財(cái)富過(guò)程 (9)，最優(yōu)的比例再保險(xiǎn)策略為p*=xm*∧1， 最優(yōu)的超額損失再保險(xiǎn)策略為D=n*x， m*，n*由式(18)獲得.最優(yōu)的投資策略 π*由式(19)獲得.

最優(yōu)的值函數(shù)為

Vt，η，r，x=exp {bΦT－Φt

+θHT－Ht+φ(t)η+h(t)r

+gm*，n*，π*T－t}xδ.(29)

4 例 子

這一節(jié)，通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明上一節(jié)得到的結(jié)論.假設(shè)保險(xiǎn)公司的盈余滿足下面的擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型：

dUt=αdt+βdW1t， (30)

對(duì)式(30) 進(jìn)行比例再保險(xiǎn)(不考慮超額損失再保險(xiǎn)).設(shè)0≤1－p≤1 是比例再保險(xiǎn)的利率，則式(30)變?yōu)?/p>

dRt=pαdt+pβdW1t. (31)

把式(31)在金融市場(chǎng)上投資，投資方式和第二節(jié)介紹的一樣，這由定理3可得到下面的結(jié)論

定理 4 當(dāng)保險(xiǎn)公司的盈余滿足擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型時(shí)，最優(yōu)的再保險(xiǎn)策略為

p*=q*x∧1=αβ2δ1－δx∧1. (32)

最優(yōu)的投資策略為

π*=k1－δσ21+φt1－δ， (33)

最優(yōu)的值函數(shù)為

Vt，η，r，x=exp {bΦT－Φt

+θHT－Ht+δ1－δT－t

+φtη+htr}xδ. (34) 

5 總 結(jié)

本文研究了跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問(wèn)題.在考慮再保險(xiǎn)時(shí)，假設(shè)再保險(xiǎn)的形式為聯(lián)合比例-超額損失再保險(xiǎn)；在考慮投資時(shí)，假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率是隨機(jī)的，同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的方差也是隨機(jī)的.這給問(wèn)題的解決帶來(lái)了很大的困難.本文采用了一些技巧，應(yīng)用HJB方程理論，獲得了最優(yōu)策略、最大化終值財(cái)富期望效用的解，得到了比較完美的結(jié)果.最后，并通過(guò)一個(gè)例子解釋了得到的結(jié)論.

但是本文也存在一些不足，比如：文章給出的結(jié)果，沒(méi)有給出在經(jīng)濟(jì)上的解釋；在考慮投資時(shí)沒(méi)有考慮交易費(fèi)用.這些問(wèn)題將是，以后研究的方向.參考文獻(xiàn)

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