帶有免賠額調整的車險獎懲系統及其最優自留額

摘 要 考慮了帶有免賠額調整的車險獎懲系統.利用無差別原理，將獎懲系統懲罰等級中增收保費的部分或全部用添加免賠額的方式替代，給出了替代后獎懲系統最優自留額的遞推計算公式.最后，給出一個例子并分析了免賠額與平均最優自留額的關系.

關鍵詞 獎懲系統; 無差別原理; 免賠額; 最優自留額

中圖分類號 F840.65 文獻標識碼 A

The BonusMalus System with Per Claim Deductibles and Its Optimal Retention

SUN Jingyun1，HUANG Yanyan2，LI Biqi1，LIU Yusheng1

(1. School of Mathematics， Lanzhou City University， Gansu， Lanzhou 730070，China;

2. School of Statistics， Lanzhou University of Finance and Economics， Gansu， Lanzhou 730020，China)

Abstract A bonusmalus system with per claim deductibles was studied. By using an indifference principle，part or all premium surcharge was replaced with deductible，and the interative formula of optimal retention was given. Lastly， an example was given and the relation between deductibles and optimal retention was analyzed.

Keywords bonusmalus system; indifference principle;per claim deductible;optimal retention

1 引 言

在汽車保險中，利用獎懲系統(Bonusmalus System，簡記為BMS)可根據被保險人的歷史索賠記錄對其每年續保的保費不斷進行調整.在該系統中，若被保險人在上一保單年度沒有發生索賠，則對其續保時的保費給予優惠，而若被保險人在上一保單年度發生了一次或多次索賠，則其續保時要根據已索賠次數增收保費.在獎懲系統中通常會出現追獎現象，即當投保人面對小額損失時，為了避免未來保費的增加或為了追求保費折扣，會自付損失而不向保險公司報告.因追獎而產生的自付損失可看成是“自愿”的免賠額，而當損失達到什么程度時投保人才會向保險公司報告的問題被稱為最優自留額問題.自留額的高低反映了獎懲系統的嚴厲程度，平均最優自留額是評價獎懲系統嚴厲程度的重要標志之一.關于經典獎懲系統下最優自留額問題的研究，可參見文獻［1-3］.

由于獎懲系統中懲罰等級的存在，會導致某些被保險人上一年發生索賠后為避免更高的續保保費而離開原保險公司轉向其他保險公司，這樣，其他保險公司就可能會低估某些新投保人的風險.為了避免這種情況，Pitrebois［4］等建議在不同的懲罰區域用添加免賠額的方式來代替保費懲罰，這樣做的另一個好處是可以減少小額索賠的理賠成本和管理費用等，且投保人自己承擔了部分費用，避免了道德風險.國內關于添加免賠額的獎懲系統的研究可參見文獻［5，6］.

本文主要考慮將懲罰區域增收的保費用添加免賠額的方式替代的獎懲系統， 研究該系統中投保人的最優自留額的確定問題，并分析了系統平均最優自留額與免賠額之間的關系.

2 相關變量及假設

設一個獎懲系統有s個等級，等級i的獎懲系數為Ci，i=1，2，3，…，s，本文采用Lemaire關于BMS平均最優自留額分析的基本假設：

經 濟 數 學第 29卷第1期孫景云等：帶有免賠額調整的車險獎懲系統及其最優自留額

1)設每個投保人的事故發生次數服從參數為λ的Poisson過程，設每次的損失金額為隨機變量X，其分布函數為F(x)，密度函數為f(x)，且事故發生次數與損失額相互獨立；

2)保單組合中不含有新增保單，也不會有退保保單；

3)自留額的計算是建立在無限時域假設之下，即保單持有人將永遠開車并投保；

4)使用年中折現因子β，認為所有賠款都發生在每個保險年度的中點；

5)P是基礎保費，即獎懲系數等于1時的毛保費，其中包含了安全附加，管理費用等；

6)1－t為到下一保單年度的剩余時間，t(0≤＜1)是投保人決定是否向保險公司報告索賠的決策時刻；

7)m是在時間段［0，t］內當期已經報告的索賠次數.

在有些獎懲系統(特別是最優獎懲系統中)的懲罰等級中收取的保費要比初始保費高很多，有的甚至能達到2~3倍(參見文獻［4］).這種情況下會導致某些投保人轉向其他保險公司，文獻［4］利用無差別原理將懲罰級別中的增收保費的部分或全部用添加免賠額的方式來轉變懲罰方式，從而盡可能避免了保單轉移，還可以減少小額賠款帶來的大量管理費用.免賠額的類型通常有兩種，一種是對每個保單一年內總索賠的年免賠額，另一種是對每個保單每次的索賠設置次免賠額.本文所涉及的免賠額為次免賠額，采用類似文獻［4］的思想，對一個有s個等級的獎懲系統，若從第k+1個等級開始，獎懲系數Ci＞1，i=k+1， k+2，…，s，利用無差別原理，根據增收保費轉移比例確定不同等級次免賠額di，i=k+1，k+2， …，s.若將增收保費中比例為α(0≤α≤1)的部分用添加次免賠額的方式替代，則懲罰級別中的免賠額可用下式確定

CiP=P*i+λE［min{X，di}］，(1)

其中，P*i=P+(Ci-1)P(1-α)是保險公司對處于第i等級投保人實際收取的保費，化簡得

(Ci－1)Pα=λE［XX＜di］·p{X＜di}

+λdi·p{X＞di}.(2)

顯然，不管α取什么值，對前k個獎勵等級，可認為di=0，i=1，2，…，k，懲罰等級中的免賠額可由式(2)算出(有些情況下需要數值計算).當α=0時，增收的保費并沒有用免賠額替代，故所有等級di=0;而當α=1時，說明懲罰級別中的增收的保費全部用免賠額替代了.

設R=(r1，r2，r3，…，rs)是系統的最優自留額向量，即若投保人按照該向量決策，處在等級i的投保人，只有當實際的損失超過ri時才會向保險公司報告索賠.顯然，當i=1，2，3，…，k時，ri≥0;當i=k+1，k+2，…，s時，應有ri≥di.

3 最優自留額的計算

對于事故發生頻率為λ的保單組合，在一個保險期內發生次數服從參數為λ的Poisson分布，設事故發生k次的概率為Pk(λ)，處于第i等級的投保人若嚴格按照最優自留額向量決策，則其不向保險公司報告損失的概率為Pi，則Pi=p{X≤ri}，在一個保險期中報告k次損失的概率為Pik(λ)，則

Pik(λ)=∑∞h=kPh(λ)Ckh(1-Pi)kPh-ki.(3)

從而在一個保險期內報告的索賠次數的期望為λi=∑∞k=0kPik(λ).根據Poisson過程的隨機稀疏定理， 易知λi=λ(1－Pi)，即投保人向保險公司索賠的次數服從參數為λ(1－Pi)的Poisson過程.一次未報告索賠額的期望值為

Ei［X］=E［XX＜ri］=1Pi∫ri0xf(x)dx.（4）

由于假設事故發生次數與損失額相互獨立，則投保人支付的未報告索賠額為Ei［X］(λ－λi)，從而在第i個等級中的投保人在一個保險期內支付的期望總費用的現值為

E［TCi］=CiP+β12Ei［X］(λ－λi)，

i=1，2，…，k;P*i+β12Ei［X］(λ－λi)+β12λidi， i=k+1，k+2，…，s. （5）

設Vi(λ)表示第i等級投保人未來所有期望支付的貼現值， 即

Vi(λ)=E［TCi］+β∑∞k=0Pik(λ)VTk(i)(λ). (6)

這里Tk(i)=j表示等級為i的投保人在一個保險期發生k次索賠后處于第j等級. 設投保人在時刻t發生損失為x時，已有m次索賠，此時將面臨兩種選擇：

1)若報告索賠，此時總費用的期望值為

β－tE［TCi］+min {x，di}

+β1－t∑∞k=0Pik［λ(1－t)］VTk+m+1(i)(λ).(7)

2)若不報告索賠， 此時總費用的期望值為

β－tE［TCi］+x+β1－t∑∞k=0Pik［λ(1－t)］VTk+m(i)(λ). (8)

最優自留額的選取應使上述兩種行為在總費用上結果相等， 即式(7)=式(8)， 從而滿足方程

x－min {x，di}=β1－t∑∞k=0Pik［λ(1－t)］·

［VTk+m+1(i)(λ)－VTk+m(i)(λ)］．

令x=ri，又因ri≥di，即

ri=di+β1－t∑∞k=0Pik［λ(1－t)］·

［VTk+m+1(i)(λ)－VTk+m(i)(λ)］． (9)

要計算出最優自留額的具體數值需要使用迭代算法， 具體的迭代過程為：

步驟1 設初始自留額向量為R0=(0，0，…，0，dk+1，dk+2，…，ds)， 即只要超過免賠額的損失都向保險公司索賠，此時式（6）可轉換為形式:

V［0］i(λ)=CiP+β∑∞h=0Ph(λ)VTh(i)(λ)，

i=1，2，…，k;

P*i+β12λ［∫di0xf(x)dx+(1－P'i)di］

+β∑∞k=0ik(λ)VTk(i)(λ)，

i=k+1，k+2，…，s， (10)

其中P'i=p{X≤di}，i=k+1，k+2，…s，ik(λ)是參數為λ(1－P'i)的Poisson分布的分布律.式(10)構成了一個由s個方程，以V［0］i(λ)為未知數的線性方程組，從而可以求出V［0］i(λ)的值.

步驟2 將V［0］i(λ)代入式(9)， 可得出一組新的自留額向量

r［1］i=β1－t∑

SymboleB@ k=0Pk(λ(1－t))［VTk+m+1(i)(λ)

-VTk+m(i)(λ)］， i=1，2，…，k;

di+β1－t∑∞k=0ik(λ(1－

t))［VTk+m+1(i)(λ)－VTk+m(i)(λ)］，

i=k+1，k+2，…，s. (11)

由此， 可得新的自留額向量為R［1］=(r［1］1，r［1］2，r［1］3，…，r［1］s).

步驟3 將步驟2中得到的R［1］，再次代入式(6)， 可計算得V［1］i(λ).

步驟4 將V［1］i(λ)代入式(9)， 可計算得R［2］=(r［2］1，r［2］2，r［2］3，…，r［2］s).

反復使用第3步和第4步迭代，在迭代的過程中， 第i等級投保人未來所有期望支付的貼現值V［k］i(λ)會隨著迭代次數k的增加而越來越小，最后很快會收斂到一個最小值，而此時計算的自留額即為最優自留額.

4 一個例子及結果分析

設事故發生的索賠額分布服從參數為μ的指數分布， 即f(x)=μeμx.設某獎懲系統按索賠次數紀錄分成7個獎懲等級， C=(C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7)= (0.7，0.8，0.9，1，1.2，1.4，1.6)為獎懲系數.投保人所在的獎懲等級由其上一年的索賠次數紀錄和上一年所在的獎懲等級唯一確定，初次投保處于等級4，若上一年沒有報告索賠則降低一個等級，若上一年發生n(n=1，2，3，…)次索賠，則上升2n個等級(當上升后等級數超過第7等級時停留在第7等級).若將該獎懲系統中懲罰等級5， 6， 7 增收的保費中比例為α的部分用次免賠額取代，則可利用式(2)來確定免賠額. 若設λ=0.25，μ=0.01，初始保費P=40，則免賠額是如下方程的解

(Ci－1)Pα=λ［1μ－e－μdi(di+1μ)］+λdie－μdi，

即 di=－1μln ［1－(Ci－1)Pαμλ］.

根據α的不同取值， 可得相應的免賠額如表1所示.

其中P'j=p{X≤dj}，可計算出各等級的平均最優自留額，即表2中最后一行.

為了分析增收保費的轉移比例α對平均最優自留額的影響，下面將α取不同值時獎懲系統的平穩分布和各等級的平均最優自留額計算出來，從而可以得到獎懲系統的平均最優自留額，具體結果如表3所示.

表3中的最后一列是α取不同值時整個獎懲系統的平均最優自留額. 從表3中可以看出， 獎懲系統的平均最優自留額隨著α的增加而增加， 說明對本例中的獎懲系統將懲罰部分根據無差別原理用免賠額進行轉移時， 隨著轉移比例的增加， 該獎懲系統的嚴厲性會不斷增加.

由上面的例子可以看出， 將原有的獎懲系統用次免賠額調整后會使得投保人的最優自留額發生變化， 從而使獎懲系統的嚴厲性發生變化. 這樣， 保險公司可根據不同的要求利用免賠額對獎懲系統進行調整.

參考文獻

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