從《算齋鎖語(yǔ)》看華蘅芳對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)

摘 要：華蘅芳之作《算齋瑣語(yǔ)》共94段，一萬(wàn)余字。書中華蘅芳先生結(jié)合親身經(jīng)歷就數(shù)學(xué)的地位和重要性，數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，如何學(xué)好數(shù)學(xué)、解數(shù)學(xué)題、做數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)提出了自己的觀點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；認(rèn)識(shí)；學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1006-4117（2011）08-0245-01

華蘅芳（1833～1902），字若汀，江蘇常州金匱（現(xiàn)無(wú)錫市）人。是我國(guó)清末科學(xué)家、翻譯家、數(shù)學(xué)家，更是“嘉惠后學(xué)”的數(shù)學(xué)教育家。

一、數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論——對(duì)數(shù)學(xué)（算學(xué)）的理解

（一）數(shù)學(xué)作用——“數(shù)居六藝之末，不過(guò)一種技藝耳”。華先生雖然當(dāng)時(shí)對(duì)西方數(shù)學(xué)知識(shí)有一些理解，但其對(duì)數(shù)學(xué)的理解，還是側(cè)重于“算學(xué)”方面，和我們現(xiàn)在理解的數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科）仍有很大區(qū)別。“算學(xué)（算術(shù)）”這個(gè)詞，在我國(guó)古代是全部數(shù)學(xué)的統(tǒng)稱。“算”字在中國(guó)的古意是“數(shù)”的意思，表示計(jì)算用的竹籌。中國(guó)古代的復(fù)雜數(shù)字計(jì)算都要用算籌。所以“算學(xué)”包含當(dāng)時(shí)的全部數(shù)學(xué)知識(shí)與計(jì)算技能，流傳下來(lái)的最古老的《九章算術(shù)》，就是討論各種實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解方法。所以，數(shù)學(xué)是一種技藝。

（二）數(shù)學(xué)內(nèi)容——“一切算法總不外乎加、減、乘、除、開方”

1、加、減、乘、除、開方五法是整個(gè)算法的核心——“猶農(nóng)夫之耒耜（?），樵子之斧斤，漁人之網(wǎng)罟（?），匠者之刀鋸錐鑿也”、“不習(xí)此五法，必不能算”，而且它們之間有著密切聯(lián)系：“乘除從加減而生，乘方、開方又從乘除加減而生”。乘除法是加減法的更高一級(jí)運(yùn)算，乘方、開方又是乘除法的更高一級(jí)運(yùn)算；“算法中各事皆可彼此互求，則斷無(wú)不可還原之理。減者，加之還原也；除者，乘之還原也；開方者，乘方之還原也”。減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，開方是乘方的逆運(yùn)算。2、對(duì)算法難易的理解——“算法無(wú)所謂難易”。首先，“除難于乘，乘除難于加減，而開方又難于乘除”；其次，“若論其變，則數(shù)位之乘除尚易于數(shù)十次之加減，而一兩位之開方尚易于十余位之乘除”。多次的加減法要比少位少次的乘除法更困難一些，多位數(shù)的乘除比少位數(shù)的開方更困難，這些道理是明顯的。最后，“推算時(shí)，若但用加減、但用乘除、但用開方，皆非難為之事。若一術(shù)之中，于乘除外，又作加減，而加減后再作乘除，或乘之再乘，除之再除，或須再作開方，則心思被其惑亂，往往顛倒舛（？）錯(cuò)而不自知，豈非難事哉？”，多種運(yùn)算混合在一起要比單獨(dú)進(jìn)行一種運(yùn)算顯然更困難。因此，“算法無(wú)所謂難易”，難易是相對(duì)的。3、對(duì)算學(xué)難易的理解——“算學(xué)無(wú)所謂淺深”。用舉例的方式說(shuō)明了數(shù)學(xué)題目難易是相對(duì)的不是絕對(duì)的。把多道淺顯的題目合成一道新題，題目難度就會(huì)比之前加強(qiáng)。

4、對(duì)算法與算器的比較——“算法與算器皆各有所長(zhǎng)，亦各有所短?！彼赋?，“珠盤便于多次之加減，而不便于開方；籌與筆便于乘方、開方，而于多次之加減則不便；對(duì)數(shù)于乘方、開方極便，而不能作加減之事；天元不受除（？）代數(shù)，不便開方”。他做了大膽預(yù)測(cè)“吾意后世必有能創(chuàng)一器，立一法而各事皆便者”。現(xiàn)今的計(jì)算器不就可以進(jìn)行加、減、乘、除、開方五種運(yùn)算嗎？借助計(jì)算機(jī)還可以進(jìn)行更加復(fù)雜（矩陣、積分等）的計(jì)算和證明數(shù)學(xué)定理。

二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀——對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)

（一）語(yǔ)言要求——“學(xué)算之人不可不通文義，能通文義，則可讀古今之?dāng)?shù)學(xué)之書”。其實(shí)無(wú)論是學(xué)習(xí)什么知識(shí)，必要的語(yǔ)言是最基本的要求，語(yǔ)言是交流的平臺(tái)，有了共同語(yǔ)言才可能去交流不同時(shí)代不同地區(qū)同一學(xué)科或不同學(xué)科的知識(shí)。我們今天學(xué)習(xí)英語(yǔ)等各種語(yǔ)言不也是出于這種目的嗎？

（二）學(xué)習(xí)要求——“議論可質(zhì)諸之師友，著作可付之手，民(敏？)文字之為用大矣哉”。他強(qiáng)調(diào)，在學(xué)習(xí)算學(xué)時(shí)一要勤于做學(xué)習(xí)筆記，因?yàn)樽龉P記能把自己的想法或疑惑之處及時(shí)記錄下來(lái)，以免時(shí)間長(zhǎng)了忘記；二要善于請(qǐng)教討論?！叭诵斜赜形?guī)煛?，向老師?qǐng)教、與同行討論對(duì)學(xué)習(xí)大有益處，我們現(xiàn)在同樣也提倡這種方法（比如舉辦各種討論班、論壇等）;三要真正搞懂各種算法的用處，“習(xí)此五法而不知其用，亦不能算各種之題”。只有這樣，對(duì)于較復(fù)雜的題目才能層層分清、步步解決，正如其在舉例中所說(shuō)“能記其曲折方向，何難循原路以出哉？”。四要“久久閱之且屢作屢輟以閱之”。“算書中之新理、新法，驟閱之固不能明，即數(shù)閱之且反復(fù)思之，亦未必能盡明，何也？蓋仍未將書中之一字一句無(wú)不畢見也”。

（三）解題要求——“凡遇算學(xué)之題，須仔細(xì)看明，務(wù)將題中之層次、曲折次第分開”。算學(xué)中不外乎加、減、乘、除、開方五法，各種題目的解決也離不開這幾種方法。所以，要解決算學(xué)題目，就要將題目進(jìn)行分解，搞清具體層次，做出思路圖，“譬如行路之人先開一路程單或作一路程圖，以便舟車之用，則可免迷路之虞也”，這樣才能“知用何法可以馭之，從何處入手則易，何處入手則難，何者為正法，何者為捷徑，然后可動(dòng)手推算”，最終把問(wèn)題解決。此外，在解題要善于計(jì)算，“與其審視許久方得明晰，何如勤筆免思之得計(jì)哉？”。算草要寫得清清楚楚、明明白白，保存的完完整整——“凡作算草，必須先寫其題，題之出于何處亦須注明。草有數(shù)紙者，必首尾粘連，多則訂成一冊(cè)，若不如此，則他日閱之不知所算何題，且將以此草之首接于彼草之尾，顛倒錯(cuò)雜，自己亦不能收拾矣，何況他人”。

（四）寫書要求——“凡作算學(xué)之書，算草、圖說(shuō)之外，必參以議論”。他認(rèn)為寫算學(xué)之書時(shí)，作者一定要有自己的觀點(diǎn)，并將個(gè)人理解和題目反應(yīng)的道理寫入書中；要“常存一惟恐人不明之心”，設(shè)身處地，換位思考，“設(shè)想此處我若未明，則將如何疑慮，必將其所以疑慮之故一一說(shuō)出。然后解釋之，則讀者以為先得我心，自能豁然開朗矣”，這樣別人看了才能明白。對(duì)于那些“以空虛無(wú)本之學(xué)敷衍成篇”、“輟拾陳言，臚列名目，動(dòng)輒詆毀古人”的書目，華先生認(rèn)為是沒有任何實(shí)際意義的。

作者單位：張家口教育學(xué)院數(shù)學(xué)系

參考文獻(xiàn)：

[1]佟健華，楊春宏，崔建勤．中國(guó)古代數(shù)學(xué)教育史[M].北京:科學(xué)出版社，2007．