拋物線及其標準方程課堂教學設計

【課題】8.5拋物線及其標準方程（第1課時）

【教學目標】

1．設計軌跡探究活動，經歷“由定義獲得軌跡（拋物線）”的過程，提高歸納、發現能力，理解拋物線的定義；

2．經歷“推導拋物線的標準方程”的過程，提高求軌跡方程的能力，體現數形結合與轉化思想；

3．經歷“獲得四種標準方程”的過程，掌握拋物線的標準方程，提高類比能力，學習數形結合的思維方法。

【重點】理解拋物線的定義，掌握拋物線的標準方程。

【難點】形成“動點、軌跡、位置、方程”對應聯系的能力。

[設計說明]

“8.5拋物線及其標準方程”一節計劃用3課時完成

第1課時的教學核心是：

求拋物線的標準方程，學習過程中體現的本質是“動點成線”和“求曲線的方程”，知識結構中體現的要點是“拋物線位置特征與標準方程形式特點”的聯系。

【教學過程】

一、拋物線

1．引入問題：到定點的距離與到定直線的距離之比為常數的動點軌跡？

2．分類思考、問題轉化：

若常數0＜e＜1，則動點M的軌跡是一個橢圓；若常數e＞1，則動點M的軌跡是一個雙曲線；若常數e=1，則動點M的軌跡是什么？

3．探究活動：到定點的距離與到定直線的距離相等的動點軌跡

（1）嘗試并討論：作軌跡上的一個點

參考：

特殊的一點：從F到l的垂線段的中點；一般的一點：

方法一：在直線l上任取一點P，連PF，作PF的中垂線m，過點P作l的垂線交m于M，則M是軌跡上的一點；

方法二：過F作l的垂線FK（K為垂足），在直線FK上取一點P，過P作FK的垂線m，以F為圓心、│PK│為半徑畫圓弧交m于M，則M是軌跡上的一點。

（2）作多個點，歸納得到軌跡的示意圖

在學生基本得到軌跡之后，教師借助于《幾何畫板》演示“動點軌跡”。

[設計說明]

讓學生經歷“從點到線”的過程，從中訓練學生的歸納、直覺思維。同時，突出點的特性也為后面求軌跡方程作了“鋪墊”。

4．學習拋物線的定義

過渡問題：這是什么曲線呢？

自學課本：拋物線的定義

“平面內到定點的距離與到定直線的距離相等的動點軌跡叫做拋物線”。

思考討論：定義中有內隱的條件要求嗎？

隱含條件：定點不在定直線上

補充：若定點在定直線上，則軌跡是一條直線（過這個定點且垂直于這條定直線的直線）

（過程設計：若學生沒有發現隱含條件，則可以直接研究定點在定直線上的情況）

二、求拋物線的方程

1．引入問題：我們原來知道“二次函數的圖象是拋物線”，現在又知道了“平面內到定點的距離與到定直線的距離相等的動點軌跡叫做拋物線”。從“曲線與方程的思想”去考慮，我們如何說明前后說法沒有矛盾？

思路一：說明二次函數的圖象滿足拋物線的定義（即從二次函數研究圖象的幾何性質）；

思路二：說明拋物線（在適當的條件下）可以用二次函數表示（即求拋物線的方程）。

[設計說明]引入思維沖突，激發學生的學習興趣。

2．已知拋物線，求方程

已知：拋物線的焦點為F，準線為l，

求：拋物線的方程。

思考提示：

（1）作為已知條件，焦點F到準線l的距離可以假設為p（已知）；

（2）從已知條件看，一般我們可以怎樣建立坐標系？（以l為軸）受二次函數的啟發，為使方程簡單，（下轉第18頁）

（上接第19頁）

可以將拋物線的“頂點”作為坐標原點，但現在“頂點”還沒有研究，怎樣建立坐標系的這句話怎么說？

[設計說明]

關于怎樣取坐標系才能得到標準方程的問題，不宜作過份開放的探究學習，因為在獲得結果之前難于對方程形式作預測，更何況這里的建系方式與一般求軌跡方程時的建系略有不同。

解：過F作l的垂線FK（K為垂足），設│FK│=P（焦參數），取FK的中點O，

以O為原點，射線OF為x正半軸，取坐標系如上圖，則

，設拋物線上任意一點M(x，y)，則

這就是“頂點在原點、焦點在x正半軸上”的拋物線的標準方程。

思考：解析式反映的是二次函數嗎？（x是y的二次函數）。

三、拋物線的標準方程

1．引導問題：（曲線的）標準方程其中“標準”的含義是什么？

理解：所謂“標準方程”，主要是方程的“最簡”，從而使曲線的幾何性質（形狀大小、位置特征）能從方程中顯露出來。

認識：對于一條確定的曲線，在坐標系中它的位置的“標準”，決定了其方程的“標準”。

2．拋物線的四種標準方程，閱讀理解：課本第116頁匯總表。

教學要求：讓學生參照焦點在x正半軸上的情況

先列出具有明顯幾何意義一步： ，再比較方程的特點。

位置描述：拋物線的頂點在原點，焦點在××半軸上；或者說：拋物線的頂點在原點，開口向××。

數量特征：焦參數p（焦點到準線的距離），頂點是焦點到準線的垂線段的中點。

3．標準方程的直接運用

例1（課本第117頁）

（1）已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；

（2）已知拋物線的焦點坐標是F(0，-2)，求它的標準方程。

四、反饋與鞏固

練習：課本第116-117頁，練習題：1、2、3；習題：課本第119頁，習題8.5：1、4

（作者單位：甘肅省嘉峪關市酒鋼三中）

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”