立體幾何中的利器

中圖分類號：G633.63文獻標識碼：A 文章編號：1008-925X(2011)09-0174-02

在立體幾何中，法向量是將空間幾何問題轉換成代數問題的一種有效手段，往往可以起到化難為易的效果，而且使整個解題過程轉化為程序化的向量運算，簡捷方便，能減輕空間想象之苦。下面就平面法向量在立體幾何中的作用做一個初步探索。

1法向量的定義

如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量.

(圖1)

2 求平面的法向量的方法

2.1 觀察題目中是否有平面的法向量;

2.2 設出法向量n=（x，y，z)，在平面內任取兩個不共線的向量α，β

由:α#8226;n=0

β#8226;n可求出滿足方程組的一個解，從而求出平面的一個法向量.

3 法向量的應用

3.1 證明線面平行、面面平行

線面平行：轉換為線所在的向量與面的法向量的數量積為0

面面平行：轉換為兩個面的法向量平行

例1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，E、F、G分別為棱AB、BC、BB1的中點求證：（1）BO∥平面A1C1D；（2）平面EFG∥平面A1C1D1

分析:建立空間直角坐標系(如圖)，計算OB，平面A1C1D的法向量n1

平面EFG的法向量n2

證明OB1⊥n1，n1//n2

證明：建系如圖D-xyz，設邊長為2，則O（1，1，0）、B1（2，2，2）、A1（2，0，2）、C1（0，2，2）

D（0，0，0）、E(2，1，0)、F（1，2，0）、G(2，2，1)，設平面A1C1D的法向量n=（x1，y1，z1)， 平面EFG的法向量n2=（x2，y2，z2)

(1)、OB=（1，1，2），A1C1=（-2，2，0），DA1=（2，0，2），

由A1C1#8226;n1=0

DA1#8226;n1=0，故有-2x1+2y1=0

2x1+2z1=0，令x1=1，則y1=1，z1=-1.∴n1=（1，1，-1）

∴OB1#8226;n1=0，∴B1O∥平面A1C1D

(2)EF=(-1，1，0)，EG=(0，1，1)，由

EF#8226;n2=0

EG#8226;n2=0，故有

-x2+y2=0

x2+z2=0，令x2=1，則y2=1，z2=-1.∴n1=（1，1，-1）

顯然n1//n2，∴平面EFG∥平面A1C1D

3.2證明線面垂直、面面垂直。

面面垂直：法向量為載體，轉化為求兩個平面法向量的數量積等于0

線面垂直：以法向量為載體，轉化為求平面法向量與直線所在的向量平行

例2.如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為22，側棱長為4，E，F分別為棱AB、BC的中點.

求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1

解：以D為原點，DA，DC，DD1分別

為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則B（22，22，0），E（22，2，0），F（2，22，0）D1（0，0，4）B1（22，22，4）EF=(-2，2，0)EB1=(0，2，4)，DD1=(0，0，4)，DB=(22，22，0)

設平面EF的法向量為n=(x，y，z)，

則-2x+2y=0；n⊥EB1即2y+4z=0.所以令n=(4，4，-2)

設平面BDD1B的法向量為n1=(x1，y1，z1)，n1⊥DD1，即4z1=0;n1⊥DB，即22x+22y=0.所以可令n1=(2，-2，0)．∵n#8226;n2＝(4，4，-2)(4，4，-2)=０

∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.

3.3 求異面直線的距離。

先設法求出同時與異面直線垂直的法向量n，然后在兩異面直線上分別任取點A，B，則

(圖6)

例3. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求直線DA1的AC距離.

解析: 建立坐標系B1-xyz，如圖7所示，則點

A(1，0，1)，C(0，1，1)，A1(1，0，0)，D(1，1，1)，則A1A=(0，0，1)，AC=(-1，1，0)，A1D=（0，1，1），設

n=(x，y，z)為與AC與A1D同時垂直的向量，即-x+y=0

y+z=0，故n=(1，1，-1)為其中一個法向量，

所以直線DA1的AC距離為33.

評述：利用法向量解立體幾何題，可以克服平面的垂線難作、角難找、圖難畫等難點，但要評估綜合幾何法與向量法在解決立幾綜合問題時的優劣，根據題目特點靈活使用.而恰當的建系是使用法向量解決立幾問題的前提. 利用法向量求線面角、二面角應特別注意角度之間的轉化.