信息技術(shù)環(huán)境下的函數(shù)單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

1 教材分析

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，既是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容的基礎(chǔ)，在研究各種具體函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、解決函數(shù)綜合問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用。函數(shù)單調(diào)性概念的建立過(guò)程中蘊(yùn)涵諸多數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、觀察、概括與抽象、類(lèi)比、歸納和演繹等，對(duì)于進(jìn)一步探索、研究函數(shù)的其他性質(zhì)有很強(qiáng)的啟發(fā)與示范作用。因此，函數(shù)單調(diào)性的概念產(chǎn)生和形成是本節(jié)課的難點(diǎn)。

2 教法中存在的問(wèn)題

學(xué)生從用自己的語(yǔ)言到用精辟的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述函數(shù)單調(diào)性需要有很大的跨越，特別是定義中“任意兩個(gè)自變量”和“特定區(qū)間”這兩個(gè)概念，學(xué)生要真正理解有很大難度。許多教師忽略了這些概念是處理很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法和策略，在上課時(shí)往往簡(jiǎn)單地直接給出概念，缺乏探究過(guò)程，雖然接下來(lái)學(xué)生能就事論事解決若干問(wèn)題，但這就好像直接用電梯一下子把學(xué)生拉到山頂，表面上效率很高，但實(shí)際上漏掉很多“風(fēng)景”，學(xué)生并沒(méi)有領(lǐng)會(huì)到其中的精髓，當(dāng)今后遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)就不能觸類(lèi)旁通，形成知識(shí)遷移。應(yīng)該讓學(xué)生一步一步往上爬，對(duì)多種情況進(jìn)行充分探討，由模糊到清晰，由局部到整體，逐步地建構(gòu)起數(shù)學(xué)概念。

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 情景引入

多媒體演示蘇州市區(qū)某天24小時(shí)的氣溫變化圖。

師：氣溫Q是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，記為.上面就是這個(gè)函數(shù)的圖像（略），同學(xué)們觀察看看氣溫在哪些時(shí)段內(nèi)逐漸升高，在哪些時(shí)段內(nèi)逐漸下降？

生：略。

師：記憶保持量的下降，氣溫的上升或下降實(shí)際上都是從“形”的角度對(duì)這兩個(gè)量的變化趨勢(shì)加以描述，怎樣用“數(shù)”對(duì)某個(gè)量的變化趨勢(shì)加以描述呢？

3.2 建構(gòu)數(shù)學(xué)

師：認(rèn)識(shí)到函數(shù)的這種性質(zhì)后，我們就來(lái)考慮怎樣用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)準(zhǔn)確地表述它。我們先來(lái)考慮怎樣表述：當(dāng)x的值在開(kāi)區(qū)間(0，+∞)上逐漸增大時(shí)，函數(shù)值y也增大。

【投影】

當(dāng)x=1時(shí)，y=3；x=2時(shí)，y=5。能不能就說(shuō)明在(0，+∞)上隨著x的增大，函數(shù)值y也增大？

生：不能，感覺(jué)取得太少，比較單薄，不能說(shuō)明整個(gè)定義域的情況，“逐漸”的意思不明顯。

【投影】

當(dāng)x=1，2，3，…，9，10時(shí)，相應(yīng)的y=3，5，7，…，17，

19，21，能不能就說(shuō)明在(0，+∞)上隨著x的增大，函數(shù)值y也增大？

生：不能，還不能說(shuō)明整個(gè)定義域的情況，但數(shù)據(jù)多了“逐漸增大”感覺(jué)清晰了許多。

【投影】

一個(gè)函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)取無(wú)窮多個(gè)值…，并且…，相應(yīng)的函數(shù)值…，那么能不能說(shuō)在（0，+∞）上隨著x的增大，函數(shù)值y也增大？

學(xué)生思考討論，交流。引導(dǎo)學(xué)生舉反例。如函數(shù)(x∈R)，當(dāng)x=2，3，4，…時(shí)，相應(yīng)的y=-1，

0，3…，就不能說(shuō)隨著x的增大函數(shù)也隨著增大，因?yàn)閤=1時(shí)，y=0，自變量1<3，而相應(yīng)的函數(shù)值卻有0=0，即y不是隨著x的增大而增大。

師：看來(lái)在區(qū)間(0，+∞)上無(wú)論是取有限個(gè)值還是無(wú)窮多個(gè)值，都不能保證隨著x的增大，函數(shù)值y也增大。要準(zhǔn)確地表述函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)隨著x的增大，函數(shù)值y也增大，必須要這個(gè)區(qū)間內(nèi)每一個(gè)x的值都被取到才行。無(wú)窮多個(gè)值并不能代表所有的值，剛才只要有兩個(gè)變量滿(mǎn)足，

，那么就不是在某一區(qū)間內(nèi)隨著x的增大，函數(shù)值y也增大。這也從反面表明只有在定義區(qū)間內(nèi)所有自變量中任何一對(duì)自變量，滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)成立，那么就能保證在區(qū)間(0，+∞)上隨著x的增大，函數(shù)值y也增大。

師：就一個(gè)區(qū)間內(nèi)的所有值而言，可以怎樣表述x的增大過(guò)程？

生：在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)自變量，令。

師：怎樣表述函數(shù)y也隨著增大？

生：當(dāng)時(shí)，。

師：如果把要研究的區(qū)間用I表示，，

A是函數(shù)的定義域，那么我們就可以得出函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)的定義：如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值，當(dāng)時(shí)，都有，那么在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)。

單調(diào)增函數(shù)的定義是對(duì)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)“隨x增大，函數(shù)值y也增大”的數(shù)學(xué)表述，此時(shí)圖形的特征是：從左向右，逐漸上升。

師：如何找函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間？

生：要找函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，只要從圖像上找上升一段對(duì)應(yīng)的區(qū)間就是一個(gè)單調(diào)增區(qū)間。

【投影】

函數(shù)(x∈R)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）；

函數(shù)(x∈R)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）；

氣溫所表示的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）。

師：那么如何定義單調(diào)減函數(shù)？

生：類(lèi)比說(shuō)出定義，數(shù)學(xué)描述，圖形描述。

【投影】

函數(shù)(x∈R)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）；

氣溫所表示的函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）。

如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，這個(gè)區(qū)間就叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

3.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用

【投影】

作出下列函數(shù)圖像，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

；()。

學(xué)生動(dòng)手作圖。

師：能不能說(shuō)，函數(shù)()在定義域(-∞，0)(0，+∞)上是單調(diào)減函數(shù)？

學(xué)生討論，觀察圖象，取特殊值驗(yàn)證，得出否定結(jié)論。這兩個(gè)函數(shù)，在整個(gè)定義上不是單調(diào)函數(shù)，但它有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，可見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性反應(yīng)的是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)（局部），不一定是函數(shù)的整體性質(zhì)，有些函數(shù)沒(méi)有單調(diào)區(qū)間（），或者定義域根本不是區(qū)間。

【投影】

證明函數(shù)在區(qū)間(-∞，0)上是增函數(shù)。

學(xué)生動(dòng)手證明，歸納證明步驟：1）取點(diǎn)；2）做差；3）變形；4）判斷正負(fù)；5）結(jié)論。

4 信息技術(shù)的整合點(diǎn)

4.1 創(chuàng)建情景

用動(dòng)畫(huà)形式演示艾賓浩斯遺忘曲線、氣溫變化圖及一次函數(shù)、二次函數(shù)等圖象變化趨勢(shì)，隨著自變量逐漸增大，依次描點(diǎn)連線作出函數(shù)圖形。這樣就把抽象晦澀的數(shù)學(xué)語(yǔ)言化成清晰直觀的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生興趣，引起思考。圖象的變化趨勢(shì)、函數(shù)圖象由什么構(gòu)成等問(wèn)題提出更自然，學(xué)生也更容易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)過(guò)程直接建立“從左到右”變化的觀察順序，避免學(xué)生的誤解，教師不必再三提醒。

4.2 引導(dǎo)思維

用動(dòng)畫(huà)不是直接展示結(jié)果，而是引導(dǎo)學(xué)生建立正確的思維過(guò)程。在“考慮怎樣用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性”時(shí)，利用交互式動(dòng)畫(huà)“以形建數(shù)”，學(xué)生可任意選擇參考自變量的個(gè)數(shù)、自變量的值，同時(shí)在函數(shù)圖形上生成對(duì)應(yīng)的函數(shù)點(diǎn)并顯示函數(shù)值，函數(shù)的類(lèi)型也可自由設(shè)置。這樣學(xué)生就容易體會(huì)“任意”的涵義，同時(shí)也容易建立“區(qū)間”的概念。有利于學(xué)生把一般的語(yǔ)言抽象成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

4.3 學(xué)生探究的工具

利用信息技術(shù)豐富的表現(xiàn)力和快捷性、交互性，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的學(xué)生被動(dòng)聽(tīng)講的學(xué)習(xí)模式，學(xué)生由原來(lái)的看中學(xué)變成做中學(xué)，不必花費(fèi)大量精力進(jìn)行機(jī)械演算就可以根據(jù)要求進(jìn)行探究，這樣就把注意力集中在研究的問(wèn)題上。教師也能及時(shí)得到反饋結(jié)果，隨時(shí)對(duì)學(xué)生盡心指導(dǎo)。這種投入式的學(xué)習(xí)模式有效地突破教學(xué)難點(diǎn)，極大增強(qiáng)教學(xué)效果。

5 小結(jié)

信息技術(shù)的合理應(yīng)用使“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)模式發(fā)生很多改變。1）教師從說(shuō)教講授型變成交互指導(dǎo)型，學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)型變成主動(dòng)探究型；2）多媒體演示增強(qiáng)教學(xué)信息的表現(xiàn)能力，簡(jiǎn)化了繁瑣的語(yǔ)言敘述；3）建立反饋，使教師隨時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，并促進(jìn)學(xué)生之間的相互交流。信息技術(shù)的應(yīng)用也促使傳統(tǒng)的教學(xué)流程進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，更有利于學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

（作者單位：江蘇省蘇州市陸慕高級(jí)中學(xué)）