信息技術環境下的函數單調性教學設計

1 教材分析

函數的單調性是函數的重要性質，既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究指數函數、對數函數、三角函數的單調性等內容的基礎，在研究各種具體函數的性質及應用、解決函數綜合問題中都有著廣泛的應用。函數單調性概念的建立過程中蘊涵諸多數學思想方法，如數形結合、分類討論、觀察、概括與抽象、類比、歸納和演繹等，對于進一步探索、研究函數的其他性質有很強的啟發與示范作用。因此，函數單調性的概念產生和形成是本節課的難點。

2 教法中存在的問題

學生從用自己的語言到用精辟的數學語言描述函數單調性需要有很大的跨越，特別是定義中“任意兩個自變量”和“特定區間”這兩個概念，學生要真正理解有很大難度。許多教師忽略了這些概念是處理很多數學問題的基本方法和策略，在上課時往往簡單地直接給出概念，缺乏探究過程，雖然接下來學生能就事論事解決若干問題，但這就好像直接用電梯一下子把學生拉到山頂，表面上效率很高，但實際上漏掉很多“風景”，學生并沒有領會到其中的精髓，當今后遇到類似問題時就不能觸類旁通，形成知識遷移。應該讓學生一步一步往上爬，對多種情況進行充分探討，由模糊到清晰，由局部到整體，逐步地建構起數學概念。

3 教學過程

3.1 情景引入

多媒體演示蘇州市區某天24小時的氣溫變化圖。

師：氣溫Q是關于時間t的函數，記為.上面就是這個函數的圖像（略），同學們觀察看看氣溫在哪些時段內逐漸升高，在哪些時段內逐漸下降？

生：略。

師：記憶保持量的下降，氣溫的上升或下降實際上都是從“形”的角度對這兩個量的變化趨勢加以描述，怎樣用“數”對某個量的變化趨勢加以描述呢？

3.2 建構數學

師：認識到函數的這種性質后，我們就來考慮怎樣用數學的語言來準確地表述它。我們先來考慮怎樣表述：當x的值在開區間(0，+∞)上逐漸增大時，函數值y也增大。

【投影】

當x=1時，y=3；x=2時，y=5。能不能就說明在(0，+∞)上隨著x的增大，函數值y也增大？

生：不能，感覺取得太少，比較單薄，不能說明整個定義域的情況，“逐漸”的意思不明顯。

【投影】

當x=1，2，3，…，9，10時，相應的y=3，5，7，…，17，

19，21，能不能就說明在(0，+∞)上隨著x的增大，函數值y也增大？

生：不能，還不能說明整個定義域的情況，但數據多了“逐漸增大”感覺清晰了許多。

【投影】

一個函數在區間(0，+∞)內取無窮多個值…，并且…，相應的函數值…，那么能不能說在（0，+∞）上隨著x的增大，函數值y也增大？

學生思考討論，交流。引導學生舉反例。如函數(x∈R)，當x=2，3，4，…時，相應的y=-1，

0，3…，就不能說隨著x的增大函數也隨著增大，因為x=1時，y=0，自變量1<3，而相應的函數值卻有0=0，即y不是隨著x的增大而增大。

師：看來在區間(0，+∞)上無論是取有限個值還是無窮多個值，都不能保證隨著x的增大，函數值y也增大。要準確地表述函數在某一區間內隨著x的增大，函數值y也增大，必須要這個區間內每一個x的值都被取到才行。無窮多個值并不能代表所有的值，剛才只要有兩個變量滿足，

，那么就不是在某一區間內隨著x的增大，函數值y也增大。這也從反面表明只有在定義區間內所有自變量中任何一對自變量，滿足當時成立，那么就能保證在區間(0，+∞)上隨著x的增大，函數值y也增大。

師：就一個區間內的所有值而言，可以怎樣表述x的增大過程？

生：在區間內任取兩個自變量，令。

師：怎樣表述函數y也隨著增大？

生：當時，。

師：如果把要研究的區間用I表示，，

A是函數的定義域，那么我們就可以得出函數在區間I上是單調增函數的定義：如果對于區間I內的任意兩個值，當時，都有，那么在區間I上是單調增函數。

單調增函數的定義是對函數在一個區間內“隨x增大，函數值y也增大”的數學表述，此時圖形的特征是：從左向右，逐漸上升。

師：如何找函數的單調增區間？

生：要找函數的單調增區間，只要從圖像上找上升一段對應的區間就是一個單調增區間。

【投影】

函數(x∈R)的單調增區間是（ ）；

函數(x∈R)的單調增區間是（ ）；

氣溫所表示的函數的單調增區間是（ ）。

師：那么如何定義單調減函數？

生：類比說出定義，數學描述，圖形描述。

【投影】

函數(x∈R)的單調減區間是（ ）；

氣溫所表示的函數的單調減區間是（ ）。

如果函數在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數在這個區間上具有單調性，這個區間就叫做函數的單調區間。

3.3 數學運用

【投影】

作出下列函數圖像，并寫出函數的單調區間：

；()。

學生動手作圖。

師：能不能說，函數()在定義域(-∞，0)(0，+∞)上是單調減函數？

學生討論，觀察圖象，取特殊值驗證，得出否定結論。這兩個函數，在整個定義上不是單調函數，但它有兩個單調區間，可見函數的單調性反應的是函數在某個區間上的性質（局部），不一定是函數的整體性質，有些函數沒有單調區間（），或者定義域根本不是區間。

【投影】

證明函數在區間(-∞，0)上是增函數。

學生動手證明，歸納證明步驟：1）取點；2）做差；3）變形；4）判斷正負；5）結論。

4 信息技術的整合點

4.1 創建情景

用動畫形式演示艾賓浩斯遺忘曲線、氣溫變化圖及一次函數、二次函數等圖象變化趨勢，隨著自變量逐漸增大，依次描點連線作出函數圖形。這樣就把抽象晦澀的數學語言化成清晰直觀的動態數學過程，激發學生興趣，引起思考。圖象的變化趨勢、函數圖象由什么構成等問題提出更自然，學生也更容易發現問題。動態數學過程直接建立“從左到右”變化的觀察順序，避免學生的誤解，教師不必再三提醒。

4.2 引導思維

用動畫不是直接展示結果，而是引導學生建立正確的思維過程。在“考慮怎樣用數學的語言來準確地表述函數的單調性”時，利用交互式動畫“以形建數”，學生可任意選擇參考自變量的個數、自變量的值，同時在函數圖形上生成對應的函數點并顯示函數值，函數的類型也可自由設置。這樣學生就容易體會“任意”的涵義，同時也容易建立“區間”的概念。有利于學生把一般的語言抽象成嚴密的數學語言。

4.3 學生探究的工具

利用信息技術豐富的表現力和快捷性、交互性，轉變傳統的學生被動聽講的學習模式，學生由原來的看中學變成做中學，不必花費大量精力進行機械演算就可以根據要求進行探究，這樣就把注意力集中在研究的問題上。教師也能及時得到反饋結果，隨時對學生盡心指導。這種投入式的學習模式有效地突破教學難點，極大增強教學效果。

5 小結

信息技術的合理應用使“函數單調性”的教學模式發生很多改變。1）教師從說教講授型變成交互指導型，學生從被動學習型變成主動探究型；2）多媒體演示增強教學信息的表現能力，簡化了繁瑣的語言敘述；3）建立反饋，使教師隨時了解學生的學習動態，并促進學生之間的相互交流。信息技術的應用也促使傳統的教學流程進行優化調整，更有利于學生主動建構數學知識，掌握數學思想方法，提高數學思維品質。

（作者單位：江蘇省蘇州市陸慕高級中學）