一類DEA模型的應(yīng)用研究

［摘要］ 評(píng)價(jià)具有模糊性，模糊數(shù)學(xué)中模糊綜合評(píng)價(jià)可以很好地表達(dá)這種狀況，但是模糊綜合評(píng)價(jià)在應(yīng)用中具有一定的局限性，主要包括指標(biāo)權(quán)重的分配和評(píng)價(jià)單元之間的相關(guān)性問(wèn)題。DEA模型則在這兩個(gè)方面有很好的應(yīng)用，可以將主觀判斷以客觀的形式進(jìn)行運(yùn)算，因此將二者結(jié)合起來(lái)有利于提高評(píng)價(jià)的科學(xué)性和有效性。

［關(guān)鍵詞］ 模糊綜合評(píng)價(jià)； DEA； 集成

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2011 . 20. 042

［中圖分類號(hào)］F272.5；F224 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A ［文章編號(hào)］1673 - 0194（2011）20- 0071- 03

１引言

自從１９６５年Ｚａｄｅｈ提出模糊數(shù)學(xué)以來(lái)［１］，決策評(píng)價(jià)領(lǐng)域就展開(kāi)了多方面的應(yīng)用研究，其中一個(gè)重要的研究方向就是模糊綜合評(píng)價(jià)。模糊綜合評(píng)價(jià)就是在已有經(jīng)典評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上加入模糊數(shù)學(xué)的評(píng)價(jià)元素進(jìn)行評(píng)價(jià)［２］。這樣做的優(yōu)勢(shì)是很明顯的，因?yàn)槿祟愃伎嫉膯?wèn)題很大一部分就是模糊的，不確定的，特別是面對(duì)復(fù)雜的定性問(wèn)題時(shí)更是如此。模糊綜合評(píng)價(jià)方法在許多領(lǐng)域里得到應(yīng)用，優(yōu)勢(shì)雖然明顯［３］，但是在模糊綜合評(píng)價(jià)過(guò)程中也存在著一定的局限性，比較明顯的有以下兩點(diǎn)：第一，評(píng)價(jià)各因素的權(quán)重分配主要靠人的主觀判斷，而當(dāng)因素較多時(shí)，給出權(quán)重的大小往往是一件困難的事［４］。第二，模糊綜合評(píng)價(jià)方法僅從被評(píng)價(jià)單元自身的角度進(jìn)行評(píng)價(jià)，沒(méi)有考慮各評(píng)價(jià)單元之間的相關(guān)性，而事實(shí)上各評(píng)價(jià)單元是相關(guān)的。如果充分依據(jù)同類單元間的這種聯(lián)系，不僅可以發(fā)現(xiàn)被評(píng)價(jià)單元在同類單元中的相對(duì)有效性，而且還能根據(jù)同類單元提供的信息發(fā)現(xiàn)被評(píng)價(jià)單元的弱點(diǎn)，提出較差單元進(jìn)一步改進(jìn)的策略和辦法［５］。

另外，數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment Analysis，DEA）作為一種效率評(píng)價(jià)工具，在決策評(píng)價(jià)中也得到了大量應(yīng)用，可以看出在ＤＥＡ的應(yīng)用過(guò)程中，最關(guān)鍵的步驟就是輸入／輸出指標(biāo)體系的確定和各決策單元在相應(yīng)指標(biāo)體系下的輸入輸出數(shù)據(jù)的搜集與獲得。目前已有的ＤＥＡ模型由于所涉及的指標(biāo)體系是確定的，所涉及的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)是確定已知的，所以目前的模型大都是確定型的。然而許多領(lǐng)域的評(píng)價(jià)和決策問(wèn)題都存在著大量的不確定性，對(duì)于這些領(lǐng)域中的決策問(wèn)題，確定型的ＤＥＡ模型就存在著缺陷和不足［６］。

從以上論述可以看出，模糊綜合評(píng)價(jià)可以解決ＤＥＡ模型中的數(shù)據(jù)輸入、輸出問(wèn)題，而ＤＥＡ則可以解決模糊綜合評(píng)價(jià)中評(píng)價(jià)權(quán)重的設(shè)定和評(píng)價(jià)單元的相關(guān)性問(wèn)題。這是因?yàn)椋模牛猎u(píng)價(jià)單元是不是有效是相對(duì)于其他所有決策單元而言的。特別是，它把決策單元中各輸入和輸出的權(quán)重作為變量，通過(guò)對(duì)決策單元的實(shí)際原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算而確定，排除了人為因素，具有很強(qiáng)的客觀性。也就是說(shuō)，該方法中各個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的相對(duì)有效性是在對(duì)大量實(shí)際原始數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析的基礎(chǔ)上得來(lái)的，從而避免了人為主觀確定權(quán)重的缺點(diǎn)。因此，本文將模糊綜合評(píng)價(jià)與數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法相結(jié)合，提出了基于模糊綜合評(píng)價(jià)的ＤＥＡ評(píng)價(jià)方法，并結(jié)合其在糧油加工企業(yè)油品質(zhì)量評(píng)價(jià)中的應(yīng)用進(jìn)行了討論。

２模糊ＤＥＡ模型

如果一個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象相對(duì)于各因素的評(píng)價(jià)具有一定的模糊性，那么就需要運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)表達(dá)，模糊綜合評(píng)價(jià)來(lái)研究。設(shè)Ｗ ＝ ｛ｗ１，ｗ２，ｗ３，…，ｗｋ｝為評(píng)價(jià)對(duì)象集，ｋ為評(píng)價(jià)對(duì)象個(gè)數(shù)；Ｕ ＝ ｛ｕ１，ｕ２，…，ｕｍ｝為為評(píng)價(jià)因素集，ｍ為評(píng)價(jià)因素個(gè)數(shù)；Ｖ ＝ ｛ｖ１，ｕ２，…，ｖｎ｝為評(píng)價(jià)等級(jí)集，ｎ為評(píng)價(jià)等級(jí)個(gè)數(shù)。

對(duì)每一個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象，有模糊關(guān)系矩陣Ｒ，稱為某一評(píng)價(jià)對(duì)象的評(píng)價(jià)矩陣。

Ｒ ＝ Ｒ１Ｒ２Ｒｍ = ｒ１１ｒ１２…ｒ１ｎｒ２１ｒ２２…ｒ２ｎｒｍ１ｒｍ２… ｒｍｎ，（ｉ ＝ １，２，…，ｍ； ｊ ＝ １，２，…，ｎ）

式中，ｒｉｊ為Ｕ中因素ｕｉ對(duì)應(yīng)Ｖ中等級(jí)ｖｊ的隸屬關(guān)系，即從因素ｕｉ著眼被評(píng)價(jià)對(duì)象能被評(píng)為ｖｉ等級(jí)的隸屬程度，可以通過(guò)二維模糊統(tǒng)計(jì)法來(lái)確定，具體來(lái)說(shuō)就是評(píng)委在某個(gè)等級(jí)上選擇的人數(shù)占總評(píng)委人數(shù)的比值。

對(duì)某個(gè)評(píng)價(jià)因素來(lái)說(shuō)，則有一模糊關(guān)系矩陣Ｑ，稱為某一評(píng)價(jià)因素的評(píng)價(jià)矩陣。

Ｑ ＝ Ｑ１Ｑ２Ｑｍ = ｑ１１ｑ１２…ｑ１ｎｑ２１ｑ２２…ｑ２ｎｑｋ１ｑｋ２…ｑｋｎ，（ｉ ＝ １，２，…，ｋ； ｊ ＝ １，２，…，ｎ）

式中，ｑｉｊ為Ｗ中對(duì)象ｗｉ對(duì)應(yīng)Ｖ中等級(jí)ｖｊ的隸屬關(guān)系，即從對(duì)象ｗｉ著眼被評(píng)價(jià)因素能被評(píng)為ｖｉ等級(jí)的隸屬程度，也可以通過(guò)二維模糊統(tǒng)計(jì)法來(lái)確定。

模糊ＤＥＡ方法是在ＤＥＡ方法的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。ＤＥＡ方法是根據(jù)決策單元的輸入和輸出實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)有效生產(chǎn)前沿面的。其中，Ｃ２Ｒ模型是ＤＥＡ最早提出也是應(yīng)用最為廣泛的模型。以下采用此模型進(jìn)行討論。選取需要評(píng)價(jià)的對(duì)象（針對(duì)某因素而言）或因素（針對(duì)某對(duì)象而言）作為ＤＥＡ的決策單元，以其評(píng)價(jià)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣作為ＤＥＡ決策單元的輸入和輸出矩陣。需要說(shuō)明的是，評(píng)語(yǔ)的個(gè)數(shù)ｎ因具體問(wèn)題及其要求不同，取值也不一定。如ｎ ＝ ３（如優(yōu)秀、合格、不合格）；ｎ ＝ ４（如優(yōu)、良、中、差）；ｎ ＝ ５（如優(yōu)、良、中、及格、不及格）等。而且具體取哪些等級(jí)為ＤＥＡ的輸入，哪些等級(jí)為ＤＥＡ的輸出，評(píng)價(jià)結(jié)果也會(huì)有一些差異。對(duì)于一個(gè)決策單元，它有ｔ種類型的輸入以及ｓ種類型的輸出。ｔ ＋ ｓ ＝ ｎ，ｎ為評(píng)語(yǔ)個(gè)數(shù)，見(jiàn)表１。

其中，以評(píng)價(jià)對(duì)象為決策單元時(shí)ｌ ＝ ｋ；以評(píng)價(jià)因素為決策單元時(shí)ｌ ＝ ｍ；ｖ１，ｖ２，…，ｖｔ為ＤＥＡ輸入的權(quán)重；ｕ１，ｕ２，…，ｕｓ為ＤＥＡ輸出的權(quán)重。記Ｘｊ ＝ （ｘ１ｊ，ｘ２ｊ，…，ｘｉｊ）Ｔ，Ｙｊ ＝ （ｙ１ｊ，ｙ２ｊ，…，ｙｓｊ）Ｔ， ｊ ＝ １，２，…，ｌ；則可用（Ｘｊ，Ｙｊ）表示第ｊ個(gè)決策單元。相應(yīng)于權(quán)系數(shù)，Ｖ ＝ （ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ）Ｔ，Ｕ ＝ （ｕ１，ｕ２，…，ｕｍ）Ｔ，每一個(gè)決策單元都有相應(yīng)的效率評(píng)價(jià)指數(shù)ｈｊ ＝ （ＵＴＹｊ）／（ＶＴＸｊ），總是可以適當(dāng)?shù)剡x取權(quán)系數(shù)Ｖ和Ｕ，使ｈｊ ≤１。

對(duì)于第ｊ０個(gè)決策單元進(jìn)行效率評(píng)價(jià)，以第ｊ０個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)，以所有決策單元（包括第ｊ０個(gè)決策單元）的效率指數(shù)為約束，構(gòu)成最優(yōu)化模型。原始的Ｃ２Ｒ模型是一個(gè)分式規(guī)劃，當(dāng)使用Ｃｈａｒｎｅｌ－Ｃｏｏｐｅｒ變化時(shí)，可將分式規(guī)劃為一個(gè)等價(jià)的線性規(guī)劃（ＬＰ）問(wèn)題。

相應(yīng)于第ｊ０（１ ≤ ｊ０ ≤ ｌ）個(gè)決策單元的線性規(guī)劃模型為：

ｍａｘ ＵＴＹｊ０ｓ．ｔ． ＶＴＸｊ － ＵＴＹｊ ≥ ０，ｊ ＝ １，２，…，ｌ ＶＴＸｊ０ ＝ １ Ｖ ≥ ０，Ｕ ≥ ０

用線性規(guī)劃的最優(yōu)解來(lái)判斷決策單元ｊ０的有效性。利用上述模型評(píng)價(jià)決策單元是不是有效是相對(duì)于其他所有決策單元而言的，決策單元間的相對(duì)有效性也即決策單元的優(yōu)劣。另外，還可以獲得許多其他有用的管理信息，這些信息可以找出較差單元無(wú)效的原因，并能為較差單元的改進(jìn)提供策略和辦法。上面討論的是針對(duì)單因素的多對(duì)象評(píng)價(jià)和單對(duì)象的多因素評(píng)價(jià)，但是一般還要得到最終的多因素、多對(duì)象評(píng)價(jià)結(jié)果。

假如要評(píng)價(jià)ｋ個(gè)對(duì)象，即評(píng)價(jià)系統(tǒng)的決策單元有ｋ個(gè)。針對(duì)某個(gè)因素而言，首先統(tǒng)計(jì)評(píng)委對(duì)這ｋ個(gè)對(duì)象在該因素的等級(jí)比重，方法同傳統(tǒng)的模糊綜合評(píng)價(jià)。對(duì)某個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象來(lái)說(shuō)，可以得到一個(gè)線性規(guī)劃模型，一共可以得到ｋ個(gè)線性規(guī)劃模型。這ｋ個(gè)線性規(guī)劃模型的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，即為這ｋ個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象在該因素上的評(píng)價(jià)結(jié)果。對(duì)ｋ個(gè)對(duì)象所有因素（假設(shè)有ｍ個(gè)），分別進(jìn)行計(jì)算，按被評(píng)價(jià)者將其ｍ個(gè)結(jié)果相乘（加），其積（和）可作為對(duì)該對(duì)象的總的評(píng)價(jià)結(jié)果。

對(duì)某個(gè)對(duì)象來(lái)說(shuō)，即整個(gè)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的一個(gè)子系統(tǒng)而言。?。韨€(gè)評(píng)價(jià)因素為該子系統(tǒng)的決策單元，則在評(píng)委的等級(jí)比重的基礎(chǔ)上，方法與上面相同，對(duì)每個(gè)因素都將對(duì)應(yīng)有一個(gè)線性規(guī)劃模型，ｍ個(gè)因素將需解ｍ個(gè)線性規(guī)劃。這樣求得某對(duì)象每個(gè)因素的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。它刻畫了該對(duì)象在每個(gè)因素上的表現(xiàn)，從而可以發(fā)現(xiàn)某對(duì)象的優(yōu)點(diǎn)和弱點(diǎn)。對(duì)所有對(duì)象（假設(shè)有ｋ個(gè)），在ｍ個(gè)因素上的表現(xiàn)分別進(jìn)行計(jì)算，可以觀察到每個(gè)對(duì)象在所有因素上的具體表現(xiàn)。

由此可見(jiàn)，這種集成評(píng)價(jià)方法，最終不僅可以觀察到每個(gè)對(duì)象在所有因素上的具體表現(xiàn)，而且可以得到每個(gè)對(duì)象在所有因素上表現(xiàn)的總的評(píng)價(jià)結(jié)果。

３算例

假如要對(duì)多家糧油加工企業(yè)的油品質(zhì)量進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，對(duì)油品質(zhì)量這個(gè)定性指標(biāo)而言，選擇１０個(gè)評(píng)委，按很好、好、一般、差4個(gè)等級(jí)對(duì)被評(píng)價(jià)的糧油加工企業(yè)，在該因素上的表現(xiàn)做模糊綜合評(píng)價(jià)。在本算例中僅選５家糧油加工企業(yè)進(jìn)行討論。表2中的數(shù)據(jù)是１０個(gè)評(píng)委在某糧油加工企業(yè)在某等級(jí)上選擇的人數(shù)，現(xiàn)以差、一般為ＤＥＡ的輸入，以好、很好為ＤＥＡ的輸出進(jìn)行討論。

對(duì)每一個(gè)糧油加工企業(yè)（決策單元）都將得到一個(gè)線性規(guī)劃模型。對(duì)企業(yè)１而言，有ＬＰ１：

ｍａｘ７ｐ１ ＋ １ｐ２

ｓ．ｔ．２ｑ２ － ７ｐ１ － １ｐ２ ≥ ０

４ｑ２ － ６ｐ１ ≥ ０

１ｑ１ ＋ ２ｑ２ － ６ｐ１ － １ｐ２ ≥ ０

１ｑ１ ＋ ２ｑ２ － ７ｐ１ ≥ ０

１ｑ２ － ８ｐ１ － １ｐ２ ≥ ０

２ｑ２ ＝ １

ｑ１， ｑ２， ｐ１， ｐ２ ≥ ０

同理可得其他4個(gè)企業(yè)對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃模型。通過(guò)基于Ｅｘｅｃｌ平臺(tái)的用ＶＢＡ語(yǔ)言編寫的解ＤＥＡ模型的軟件計(jì)算得出5個(gè)線性規(guī)劃的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，結(jié)果詳見(jiàn)表３。

表3中ＤＭＵ代表糧油加工企業(yè)，Ｓｃｏｒｅ代表最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，代表這5個(gè)糧油加工企業(yè)在油品質(zhì)量因素上的表現(xiàn)。

４結(jié)論

基于模糊綜合評(píng)價(jià)方法的ＤＥＡ模型，由于應(yīng)用了ＤＥＡ模型，直觀性好，避免了人為確定權(quán)重的缺點(diǎn)，從而增強(qiáng)了模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果的客觀性。它不僅可以考察每個(gè)對(duì)象在多個(gè)因素上的表現(xiàn)，指出評(píng)價(jià)單元的優(yōu)點(diǎn)和弱點(diǎn)，以便進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)和完善，而且可以把一組對(duì)象作為一個(gè)整體進(jìn)行關(guān)于某個(gè)因素的評(píng)價(jià)，然后進(jìn)行綜合。由于它把多個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象放在一起進(jìn)行討論計(jì)算，所以可比性很強(qiáng)，評(píng)價(jià)效率很高。需要注意的是，由于ＤＥＡ方法本身的原因，要求每個(gè)決策單元都應(yīng)有輸入和輸出，否則，將導(dǎo)致評(píng)價(jià)方法失效。解決的辦法是將評(píng)價(jià)矩陣初始化，即先把評(píng)價(jià)矩陣各元素均設(shè)為１，然后在此基礎(chǔ)上追加原評(píng)價(jià)矩陣，產(chǎn)生新的評(píng)價(jià)矩陣?？赡苡腥苏J(rèn)為使用線性規(guī)劃增加了原模糊綜合評(píng)價(jià)的復(fù)雜程度和計(jì)算難度，其實(shí)在計(jì)算機(jī)技術(shù)十分發(fā)達(dá)的今天，作矩陣運(yùn)算、求解線性規(guī)劃是計(jì)算機(jī)的強(qiáng)項(xiàng)，由于不像原來(lái)一個(gè)一個(gè)地對(duì)對(duì)象進(jìn)行評(píng)價(jià)，而是把很多對(duì)象放在一起進(jìn)行計(jì)算，所以該評(píng)價(jià)方法恰恰減少了評(píng)價(jià)的工作量，提高了評(píng)價(jià)的效率。因此，本文認(rèn)為基于模糊綜合評(píng)價(jià)方法的ＤＥＡ模型是一種值得推薦的更為有效的評(píng)價(jià)方法。

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