如何掌握數(shù)學(xué)思想方法

摘要：數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中的具體反映和體現(xiàn)。是研究問題、解決問題的數(shù)學(xué)工具、手段、方式或程序。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)中的精髓。任何數(shù)學(xué)事實(shí)的理解，數(shù)學(xué)概念的掌握，數(shù)學(xué)理論的建立都是數(shù)學(xué)思想和方法的體現(xiàn)和應(yīng)用。歷史表明，一個(gè)重大數(shù)學(xué)成果的取得往往是與數(shù)學(xué)思想和方法的突破分不開的。數(shù)學(xué)思想和方法寓于數(shù)學(xué)知識(shí)之中。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該把數(shù)學(xué)思想和方法的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)融為一體。不僅教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，即概念、性質(zhì)、定理、法則、公武等結(jié)果，而且更重要的是如何得到這些知識(shí)的過程。這個(gè)過程的實(shí)質(zhì)就是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)，是比數(shù)學(xué)知識(shí)本身即結(jié)果更重要、更為寶貴的數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)學(xué)教學(xué)中始終注意的是運(yùn)用的是什么數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法?告訴學(xué)生這種思想或方法的好處在哪里等等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)內(nèi)容

中圖分類號(hào)：G4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.3969/J.issn.1672-0407.2011.10.013

文章編號(hào)：1672-0407(2011)10-027-06

收稿日期：2011-09-20

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也意味著學(xué)習(xí)相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，”數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。它能使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，懂得數(shù)學(xué)的價(jià)值，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考和解決問題，它能把知識(shí)的學(xué)習(xí)與培養(yǎng)能力、發(fā)展智辦有機(jī)地統(tǒng)一起來。

隨著科技的發(fā)展和人文科學(xué)的進(jìn)步，對(duì)數(shù)學(xué)教職人員的教學(xué)方法、教學(xué)理念有了更進(jìn)一步的要求。在數(shù)學(xué)教學(xué)方面，教師不僅要教授數(shù)學(xué)知識(shí)，更要滲透掌握數(shù)學(xué)思想方法才能將教學(xué)做得淋漓盡致。如何掌握數(shù)學(xué)思想方法成為越來越多的數(shù)學(xué)教師關(guān)注和思考的問題。

一、中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想和方法

數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。由于中學(xué)生認(rèn)知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，而對(duì)有些數(shù)學(xué)思想不宜要求過高。

數(shù)學(xué)專家認(rèn)為，在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有3個(gè)，即集合思想、化歸思想和對(duì)應(yīng)思想。其理由是：(1)這三個(gè)思想幾乎包括了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；(2)符合中學(xué)生的思維能力及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握；(3)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)比較多；(4)掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)。

此外，符號(hào)化思想、公理化思想以及極限思想等在中學(xué)數(shù)學(xué)中也不同程度地有所體現(xiàn)，應(yīng)依據(jù)具體情況在教學(xué)中予以滲透。

數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)。從有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，本著數(shù)量不宜過多原則，編者認(rèn)為目前應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等。

一般講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的。

(一)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的層次

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容從總體上可以分為兩個(gè)層次：一個(gè)稱為表層知識(shí)，另一個(gè)稱為深層知識(shí)。表層知識(shí)包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，深層知識(shí)主要指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。

表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的，教材中明確給出的，以及具有較強(qiáng)操作性的知識(shí)。學(xué)生只有通過對(duì)教材的學(xué)習(xí)，在掌握和理解了一定的表層知識(shí)后，才能進(jìn)一步地學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)的深層知識(shí)。

深層知識(shí)蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)率著表層知識(shí)。教師必須在講授表層知識(shí)的過程中不斷地滲透相關(guān)的深層知識(shí)，讓學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟到深層知識(shí)，才能使學(xué)生的表層知識(shí)達(dá)到一個(gè)質(zhì)的“飛躍”，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)超脫“題海”之苦，使其更富有朝氣和創(chuàng)造性。

那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高；反之，如果單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法，而忽略表層知識(shí)的教學(xué)，就會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無源之水，無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到深層知識(shí)的真諦。因此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)與整個(gè)表層知識(shí)的講授融為一體，使學(xué)生逐步掌握有關(guān)的深層知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

(二)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的關(guān)系

思想是客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是從大量的思維活動(dòng)中獲得的產(chǎn)物，經(jīng)過反復(fù)提煉和實(shí)驗(yàn)，如果一再被證明為正確，就可以反復(fù)被應(yīng)用到新的思維活動(dòng)中，并產(chǎn)生新的結(jié)果，因此我們認(rèn)為，思維就是那些顛撲不破，試不爽的思維產(chǎn)物，對(duì)于學(xué)習(xí)者來說，思維就成為他們進(jìn)行思維活動(dòng)的細(xì)胞和基礎(chǔ)。

所謂數(shù)學(xué)思維，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本身認(rèn)識(shí)。首先數(shù)學(xué)思想比一般說的數(shù)學(xué)概念，具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻；其次，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法密不可分，思想是相應(yīng)方法的精神實(shí)質(zhì)和理論基礎(chǔ)，方法則是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段，中學(xué)數(shù)學(xué)中，出現(xiàn)的各種數(shù)學(xué)方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想，反之?dāng)?shù)學(xué)思想又來源于實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，又高于知識(shí)與方法，居于更高層次的地位，它指導(dǎo)知識(shí)與方法的運(yùn)用，它能使知識(shí)向更高，更深層次發(fā)展。

由于中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的這種特殊關(guān)系，以及從數(shù)學(xué)方法論的角度來考慮既同一又有差異或沒有明確界限的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方，我們常籠統(tǒng)使用數(shù)學(xué)思想方法一詞。

(三)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)模式

數(shù)學(xué)表層知識(shí)與深層知識(shí)具有相輔相成的關(guān)系，這就決定了他們?cè)诮虒W(xué)中的辯證統(tǒng)一性。

基于上述認(rèn)識(shí)，我們給出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個(gè)教學(xué)模式：

操作——掌握——領(lǐng)悟

對(duì)此模式作如下說明：

(1)數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)要求教師較好地掌握有關(guān)的深層知識(shí)，以保證在教學(xué)過程中有明確的教學(xué)目的；

(2)“操作”是指表層知識(shí)教學(xué)，即基本知識(shí)與技能的教學(xué)。“操作”是數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)的基礎(chǔ)；

(3)“掌握”是指在表層知識(shí)教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)表層知識(shí)的掌握。學(xué)生掌握了一定量的數(shù)學(xué)表層知識(shí)，是學(xué)生能夠接受相關(guān)深層知識(shí)的前提；

(4)“領(lǐng)悟”是指在教師引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)掌握的有關(guān)表層知識(shí)的認(rèn)識(shí)深化，即對(duì)蘊(yùn)于其中的數(shù)學(xué)思想、方法有所悟，有所體會(huì)；

(5)數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)是循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程，往往是幾種數(shù)學(xué)思想、方法交織在一起，在教學(xué)過程中依據(jù)具體情況在一段時(shí)間內(nèi)突出滲透與明確一種數(shù)學(xué)思想或方法，效果可能更好些。

(四)數(shù)學(xué)思想是自然而平和的

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容是數(shù)學(xué)，教學(xué)設(shè)計(jì)是其呈現(xiàn)方式。內(nèi)容決定形式。一堂課上得好不好，首先要看是否達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)；呈現(xiàn)了教學(xué)本質(zhì)，是否有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展。數(shù)學(xué)教師的任務(wù)，在于把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生易于接受的教育形態(tài)

教育是一種認(rèn)識(shí)過程，當(dāng)然要服從認(rèn)識(shí)論的指導(dǎo)，包括吸收建構(gòu)主義認(rèn)識(shí)論的一些長處。但是，教育有自己的特殊性，即要講究認(rèn)識(shí)效率。認(rèn)識(shí)論強(qiáng)調(diào)自主活動(dòng)、自我探索、親身體驗(yàn)、彼此合作，怎么認(rèn)識(shí)深刻怎么說，可以不管效率，不計(jì)成本。但是，我們的基礎(chǔ)教育卻要在短短的12年時(shí)間里，使學(xué)生掌握人類幾千年來積累的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的精華部分，保持必要的進(jìn)度。一位哲人說過，要知道梨子的滋味，就要親口吃一吃。但是他又說，人不能事事都直接經(jīng)歷、體驗(yàn)，大部分知識(shí)都是間接經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)教育學(xué)研究的基本矛盾，就是如何做到既保證學(xué)生有一定的直接數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，又要保持科學(xué)合理的進(jìn)度，使學(xué)生能夠高效率地掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。為了做到這一點(diǎn)，在遵循一般教育規(guī)律的基礎(chǔ)上，就需要對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容有深刻的認(rèn)識(shí)，善于揭示數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，那種“去數(shù)學(xué)化”的傾向是不可取的。

數(shù)學(xué)內(nèi)容有其本質(zhì)和非本質(zhì)的區(qū)別。數(shù)學(xué)問題有本原性的，也有非本原性的。例如，方程的定義：“含有未知數(shù)的等式叫方程”，并沒有反映方程的本原思想。方程的實(shí)質(zhì)是：“為了尋求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立起來的一種等式關(guān)系。”上述定義不甚要緊，記住它、背出來沒有多少意思，即便忘了定義，看見方程能夠認(rèn)得出也就行了。但是，把握方程的實(shí)質(zhì)卻是十分重要的。既要會(huì)按部就班地解方程，也要能夠建立方程的模型，找出已知數(shù)和未知數(shù)之間的等量關(guān)系。這種方程思想是本原性的，不能遺忘的。

數(shù)學(xué)中有許多問題是一些約定。例如，九九表、有理數(shù)的加減法則、負(fù)負(fù)得正、指數(shù)和根式運(yùn)算規(guī)則、無理數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，等等，都是根據(jù)人類長期積累的經(jīng)驗(yàn)制定的法則和規(guī)則是一種約定，正如方塊字和漢語語法都是一種約定一樣。它們非常重要，人們必須牢牢記住，但卻主要用其結(jié)果，對(duì)其過程只須有一定的了解即可。至于為什么這樣約定，如此定義，其詳細(xì)的證明、本原性的考察則只有專家才能夠處理。比如，“負(fù)負(fù)得正\"，無理數(shù)加法服從交換律，可以從自然數(shù)公理出發(fā)，擴(kuò)充到有理數(shù)公理、實(shí)數(shù)公理，然后加以證明。但是，為了效率，我們只用結(jié)果就是了，不必深究。

還有一些數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如正弦函數(shù)的和角公式：Sin(a+b)=Sina Cosb+Cosa Sinb，我們必須牢牢記住，熟練運(yùn)用，它的本原意義在于合理地運(yùn)用。至于它的證明，能夠深入理解固然好，實(shí)在不記得也沒有太大的關(guān)系。一般地，對(duì)第一象限的角作一解釋性的證明，也就可以了，畢竟證明過程本身并非本原性問題，別的地方很少使用，缺乏普遍價(jià)值。

但是，數(shù)學(xué)中還有一些問題，學(xué)生必須深入理解，觸及本質(zhì)，正面投入本原性問題的探索研究中。對(duì)其結(jié)論和過程，使用的數(shù)學(xué)思想方法，都需要掌握，也需要記憶，上面提到的方程實(shí)質(zhì)是一個(gè)例子。現(xiàn)在，再就算術(shù)平均數(shù)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的問題做一些評(píng)述。

楊玉東博士等的文章，就算術(shù)平均數(shù)的形式計(jì)算和背后隱藏的實(shí)際意義進(jìn)行剖析。這再次說明，算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算只是形式。它的本原意義有兩點(diǎn)：一是“將它作為一組數(shù)據(jù)的代表數(shù)”，二是根據(jù)代表數(shù)進(jìn)行決策。文章還指出，要將算術(shù)平均數(shù)、截尾平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)作為代表數(shù)進(jìn)行綜合比較分析。特別是，不同的人群會(huì)采用不同的“代表數(shù)”，反映出他們的利益和立場(chǎng)會(huì)很不相同。這就是說，算術(shù)平均數(shù)概念，從形式計(jì)算、實(shí)際背景到?jīng)Q策選取、與其他代表數(shù)的比較分析，學(xué)生必須完整地參與全過程。該文揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的重要性不言而喻。

讓我們?cè)賮砜磸埦氨罄蠋煹恼撌觥Ｋ鼜姆疵嫣崾玖藢W(xué)生必須弄懂“單調(diào)函數(shù)”和“復(fù)合函數(shù)”的本原意義。如果僅僅會(huì)背它們的定義、用死記硬背的程式去套，記憶容量太大。即使臨時(shí)記住了，過幾天就遺忘了。一旦面對(duì)具體問題，就不知所措。

讓我們來看看單調(diào)函數(shù)的本質(zhì)。以單調(diào)上升函數(shù)為例，教師應(yīng)該指出以下的基本點(diǎn)：

(1)隨著自變量增大，函數(shù)值也增大，畫圖一看，就明白了。

(2)這時(shí)，學(xué)生的認(rèn)識(shí)還是感性的，頭腦里呈現(xiàn)的是總體向上的態(tài)勢(shì)，是和基本向上、大體向上差不多的認(rèn)知圖像。因此，必須著重指出，數(shù)學(xué)的上升，是“天天向上”“一個(gè)都不能少”。

(3)如果函數(shù)的定義域是有限數(shù)集，那么只要把有限多個(gè)函數(shù)值依次排起來看看就行了。但是定義域是無限的情況該怎么辦?這是思考的關(guān)鍵!

(4)既然是“無限多”天的“天天向上”，那就表示任意選兩天進(jìn)行比較，都得向上。定義域?yàn)闊o限集的情形，必須保證任意兩點(diǎn)的函數(shù)值都在上升，每一點(diǎn)都不允許塌下去，即一個(gè)也不能少。

(5)最后，得到符號(hào)表示：對(duì)任何的X1，X2∈D，當(dāng)xl

以上這樣的文字和解說，在教材里是不會(huì)出現(xiàn)的，如果我們只是把符號(hào)的定義寫在黑板上，逐字逐句地解釋一番，要求學(xué)生記住，那就沒有揭示問題的實(shí)質(zhì)，學(xué)生覺得“單調(diào)性”定義好像是從天上掉下來的一樣。一旦揭示了本原性問題，就會(huì)覺得那是很平常、很自然的思考過程。

復(fù)合函數(shù)的本原意義在于中間變量的過渡。好的例子容易說明問題的本質(zhì)。例如GDP值是年份的上升函數(shù)，人的平均壽命是GDP的上升函數(shù)，于是壽命也是年份的上升函數(shù)。死亡率是GDP的下降函數(shù)。死亡率也是年份的下降函數(shù)。這里GDP是中間變量，其余類推。

數(shù)學(xué)要使用邏輯，但不等于邏輯。數(shù)學(xué)思想是自然而平和的。我們不能把活生生的數(shù)學(xué)思考變成一堆符號(hào)讓學(xué)生去死記，以至讓美麗的數(shù)學(xué)淹沒在形式化的海洋里。還是一句老話說得好，要給學(xué)生一杯水，自己得有一桶水。

(五)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的心理學(xué)意義

美國心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。所謂基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理。”學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。數(shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分。

下面從布魯納的基本結(jié)構(gòu)學(xué)說中來看數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)所具有的重要意義。

第一，“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”。心理學(xué)認(rèn)為“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包含和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)。”當(dāng)學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想、方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義。即使新知識(shí)能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想、方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。

第二，有利于記憶。布魯納認(rèn)為，除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記。他說，“學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具。”由此可見，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。無怪乎有人認(rèn)為，對(duì)于中學(xué)生不管他們將來從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。

第三，學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。布魯納認(rèn)為，“這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)。”曹才翰教授也認(rèn)為，“如果學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高抽象、概括水平的觀念，對(duì)于新學(xué)習(xí)是有利的。…‘只有概括的、鞏固的和清晰的知識(shí)才能實(shí)現(xiàn)遷移。”美國心理學(xué)家賈德通過實(shí)驗(yàn)證明，“學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生應(yīng)有一個(gè)先決條件，就是學(xué)生需先掌握原理，形成類比，才能遷移到具體的類似學(xué)習(xí)中。”學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想、方法有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而可以較快地提高學(xué)習(xí)質(zhì)量和數(shù)學(xué)能力。

第四，強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，能夠縮挾“高級(jí)知識(shí)”和“初級(jí)知識(shí)”之間的間隙。一般地講，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，特別是中學(xué)數(shù)學(xué)的許多具體內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中不再出現(xiàn)了，有些術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義。而在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對(duì)應(yīng)等。因此，數(shù)學(xué)思想、方法是聯(lián)結(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線。

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。

二、函數(shù)與方程

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系人手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌、達(dá)到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題一數(shù)學(xué)問題一代數(shù)問題—方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的……；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。

函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，對(duì)概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。

三、等價(jià)轉(zhuǎn)化

等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正(如無理方程化有理方程要求驗(yàn)根)，它能給人帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口。我們?cè)趹?yīng)用時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏輯上的正確。

著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。可以說，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。

在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題。比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式……或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦郏?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。

四、分類討論

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

引起分類討論的原因主要是以下幾個(gè)方面：

(1)問題所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如Ia J的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

(2)問題中涉及的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q=1和q≠l兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。

(3)解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a：0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。

另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。

進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。

解答分類討論問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復(fù))；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。

五、數(shù)形結(jié)合

中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。“數(shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。”

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。

數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。

六、總結(jié)

教者的思想就是學(xué)術(shù)的靈魂。作為一名教師，如何掌握好自己的數(shù)學(xué)思想與教學(xué)理論就顯得尤為重要。扎實(shí)的理論基礎(chǔ)、敬業(yè)的工作理念以及對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛是數(shù)學(xué)思想的必要條件。學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)不僅學(xué)的是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，更重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的反映，是思維加工后的產(chǎn)物，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。知識(shí)的發(fā)生過程，公式、定理等的探索、發(fā)現(xiàn)過程，都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。

數(shù)學(xué)思想和方法的思維過程必須遵循邏輯思維規(guī)律，因此需要在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入邏輯初步知識(shí)。但目的不在于專門地、孤立地學(xué)習(xí)邏輯，而是在于使必要的邏輯初步知識(shí)成為數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺少的一部分，作為提高數(shù)學(xué)教學(xué)在發(fā)展學(xué)生的邏輯思維方面的效果地重要輔助手段。

數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中的具體反映和體現(xiàn)，是研究問題、解決問題的數(shù)學(xué)工具、手段、方式或程序。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)中的精髓。任何數(shù)學(xué)事實(shí)的理解，數(shù)學(xué)概念的掌握，數(shù)學(xué)理論的建立都是數(shù)學(xué)思想和方法的體現(xiàn)和應(yīng)用。歷史表明，一個(gè)重大數(shù)學(xué)成果的取得往往是與數(shù)學(xué)思想和方法的突破分不開的。數(shù)學(xué)思想和方法寓于數(shù)學(xué)知識(shí)之中。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該把數(shù)學(xué)思想和方法的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)融為一體。不僅教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，即概念、性質(zhì)、定理、法則、公式等結(jié)果，而且更重要的是如何得到這些知識(shí)的過程。這個(gè)過程的實(shí)質(zhì)就是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)，是比數(shù)學(xué)知識(shí)本身即結(jié)果更重要、更為寶貴的數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)學(xué)教學(xué)中始終注意是運(yùn)用的是什么數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，告訴學(xué)生這種思想或方法的好處在哪里等等。

學(xué)生將來畢業(yè)后要從事各種職業(yè)，而數(shù)學(xué)教學(xué)要面向全體學(xué)生。使受教育者因接受數(shù)學(xué)教育而得益終生，這是數(shù)學(xué)教育的最高旨趣。為此，必須在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，一旦學(xué)生掌握了這些思想和方法，將會(huì)受用終生，并且會(huì)在今后的學(xué)習(xí)和工作中長期發(fā)揮作用。

數(shù)學(xué)教師只有將所學(xué)的系統(tǒng)數(shù)學(xué)思想理論結(jié)合自身的教學(xué)優(yōu)勢(shì)才能把數(shù)學(xué)教育工作做好，才能讓學(xué)生們有所學(xué)、有所悟。