構建數學模型,解決有關生物問題

模型是人們為了某種特定目的而對認識對象所作的一種簡化的概括性的描述，這種描述可以是定性的，也可以是定量的，有的借助于具體的實物或其他形象化的手段，有的則通過抽象的形式來表達。模型的形式很多，包括物理模型、數學模型、概念模型等。

數學模型是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑。教學過程中，筆者嘗試用數學模型解決有關生物問題，可以提高學生分析問題和解決問題的能力；同時，也使相關復雜的生物問題變得直觀、簡單和一目了然。

下面就是筆者在實際教學中，通過創建幾種數學模型，來解決相關生物問題的幾個案例。

1 創建幾何模型，解決生物問題

幾何模型指通過創建立體幾何圖形，根據幾何圖形相關知識(如定理、公理等)，直觀而形象的解決相關生物問題。

例如：現行高中生物人教版必修1，在介紹細胞不能無限長大時，設計了一個“細胞大小與物質的關系”的實驗。該實驗的設計，筆者認為值得商榷。原因有以下幾點。

(1)縱觀整個高中生物教材，在展示細胞形態時，大部分情況下，都是以近似于球形的形態出現，而該實驗卻偏偏將細胞設計成了類似于邊長3cm、2cm、1cm的正方體形狀。這一點與學生平時的認知有嚴重沖突，學生不易理解。

(2)現行教材在實施“細胞大小與物質運輸的關系”實驗步驟時，是這樣設計的：“將3cm、2cm、1cm的正方體放在燒杯內，加入NaOH溶液，將瓊脂塊淹沒，浸泡10min，用塑料勺不時翻動瓊脂塊，然后用塑料勺將瓊脂塊從NaOH溶液中取出來，用塑料刀把瓊脂塊切成兩半，觀察切面，測量每塊上NaOH擴散的深度”。

以上過程在實際操作中存在的問題很多，首要問題是將瓊脂塊切開了，不一定能看到酚酞浸入，即使能看到酚酞浸入了，但由于擴散速度的不均勻，深度也不易測量和計算。鑒于以上原因，筆者摸索出了通過創建幾何模型的方法，直觀地向學生闡述：細胞為什么不能無限長大的原因。

首先假設細胞就是球形，那么它的表面積就相當于細胞的細胞膜。根據細胞膜具有控制物質進出的功能，可以將細胞膜的表面積理解為：細胞單位時間所攝人的營養物質的量；則表面積與體積的比值就可以理解為：細胞單位時間單位體積所攝入的營養物質的量。根據球形表面積、體積的數學公式，推出S／V=4πR²／(4／3πR³)=3／R，當S／V=3／R－0時，得出R－+∞。文字含義就可以表示為：細胞單位時間、單位體積攝入營養物質的量為零時，細胞就可以無限制的長大。很顯然，這個觀點是錯誤的。通過以上幾何模型的創建，學生很容易就能理解：細胞的表面積與體積的關系，限制了細胞不可能無限制的長大。

此實驗方法的設計與原實驗設計相比，優點主要有：①通過具體的模型創建，利用學生學過的數學知識，準確地解決了問題，培養了學生創新思維和創新學習的能力；②把細胞設計成球形，更形象地展示了細胞通常情況下的一種狀態，更接近現實、貼近現實，有助于培養學生實事求是的品質。

2 創建函數模型，解決生物問題

函數模型指某個具體問題通過“建模”，轉化成函數或方程式，進而解決問題的一種方法。運用到生物中，就將具體的生物問題，通過運用生物原理和數學方法將問題中所展示的生物關系轉化為相應的函數，然后利用數學知識和生物規則求解。

例如：現行高中生物人教版必修1，在介紹核酸所含成分時，利用了圖1進行對比。

由于該圖不夠形象直觀，常導致學生解題時失分率較高。在教學中，如果教師引入函數思想，創建函數模型，就能做到既直觀，又簡便且容易記憶。具體做法如下：

依據核苷酸分子組成，可以把每個核苷酸分子看成是關于五碳糖和堿基這兩個變量的二元一次函數，記作f(x，y)=x+y+P，其中x∈{核糖，脫氧核糖}，y∈{A，G，C，T，U}，P(磷酸)可看作是常數，同時當x=核糖時，y≠T，當x＝脫氧核糖時，y≠U。據此可以畫出下列函數模型(圖2)。

此函數模型中，每個直角三角形分別代表一種核苷酸，第一象限為DNA區，含有4種脫氧核糖核苷酸，如APD代表腺嘌呤脫氧核糖核苷酸；第二象限為RNA區，含有4種核糖核苷酸，如APR則代表腺嘌呤核糖核苷酸，由此可形象直觀地表明組成DNA、RNA及DNA和RNA的成份之間的聯系與差別。

題1：煙草、煙草花葉病毒及噬菌體體內的堿基和核苷酸種類依次是( )

A 8、4、4和5、4、4

B 5、4、5和8、4、8

C 8、4、4和5、4、4

D 5、4、4和5、4、4

題2：在細菌體內，由A、G、T、C 4種堿基參與構成的核苷酸共有( )

A 八種

B 七種

C 五種

D 四種

以上兩道題目，只要學生心中具有上面的函數模型，就能立即選出A和B分別為題1和題2的正確答案。

3 創建數形結合模型，解決生物問題

數形結合模型就是指圖形與數的結合，數和形是數學研究的兩類基本對象。數量關系如果能借助于圖形性質，可以使許多抽象的概念和關系直觀而形象化，有利于探求解題的途徑，通常稱為以形助數，而有些涉及圖形的問題就能轉化為數量關系，又可以獲得嚴謹的解法，即所謂以數輔形。這是相輔相成的兩個方面，在生物解題過程時，如能經常考慮數形結合，則可使解法別開生面。

例如：現行高中生物人教版必修2教材，在介紹低溫和一定濃度的秋水仙素處理萌發的種子或幼苗，能夠引起細胞內染色體數目加倍的應用時，用常規方法來分析配子的基因型及比例，過程相當繁瑣，且學生不易理解。下面通過具體的題目來進行詮釋。

題3：基因型為Aa的番茄，經適宜濃度的秋水仙素處理使其染色體加倍為四倍體后，在減數分裂時，形成配子的基因型及比例為_______。

基因型為Aa的番茄二倍體，經適宜濃度的秋水仙素處理后，變成四倍體AAaa，這四個基因位于四條同源染色體上，在減數分裂形成配子的過程中，兩兩隨機分到一極。此題如果按常規方法解題，就要分3種情況討論、分析、綜合，最后才能得出正確的答案。但如果通過創建數形結合模型，以基因型AAaa中的4個字母A，A，a，a為四個頂點，創建下列數形結合模型(圖3)，就回避了繁瑣的分情況討論的過程，且答案也一目了然。