殘數定理與復變函數的積分

【摘要】本文討論了殘數定理與復變函數積分之間的內在聯系，舉例說明了殘數定理與柯西定理、柯西公式和高階導數公式之間的密切關系。

在復變函數中，殘數定理是復變函數論中的重要組成部分，在復變函數理論的發展和應用中都有重要意義。作為復變函數的積分和復變函數的級數相結合的產物，殘數定理與復變函數的積分有著深刻的內在聯系，理解和掌握它們之間的密切關系，對學好復變函數論是非常必要的。本文首先證明在不同的條件下，利用殘數定理可以分別得到復變函數積分中的柯西定理、柯西公式和高階導數公式，然后舉例說明。

一、殘數定理與復變函數積分間的關系

由殘數定理:若函數f（ｚ）在Ｄ內除有限個孤立奇點bk外解析，則

（1）

其中 是f（ｚ）在bk的無心鄰域0<｜z-bk｜

1.若被積函數在積分回路Ｌ內為解析函數，則在Ｌ內無奇點，故被積函數的殘數為零。由殘數定理（1）式，有

=0 （2）

（2）式即為復變函數積分的柯西定理：單通區域內的解析函數沿閉路的積分為零。

2.若被積函數在積分回路Ｌ內有一階極點，考察積分 ，其中a為積分回路Ｌ的內點，則ｚ=ａ是被積函數的一階極點。由殘數定理（1）式以及一階極點殘數的計算公式，有

=

所以（3）

（3）式即是復變函數積分的柯西公式。

3.若被積函數在積分回路Ｌ內有ｎ+1階極點，考察積分 ，其中ａ為積分回路Ｌ的內點，則ｚ=ａ是被積函數的ｎ+1階極點。由殘數定理（1）式以及ｎ+1階極點殘數的計算公式，有

所以 （4）

（4）式為復變函數積分的高階導數公式。

由以上討論可以得出，殘數定理與復變函數積分中的柯西定理、柯西公式和高階導數公式之間的關系為:

柯西定理實際上是被積函數在積分區域內為解析函數的殘數定理;

柯西公式實際上是被積函數在積分區域內有一階極點的殘數定理;

高階導數公式實際上是被積函數在積分區域內有ｎ+1階極點的殘數定理。理解了殘數定理與復變函數積分中的柯西定理、柯西公式和高階導數公式之間的內在聯系以后，原來在“復變函數的積分”一章中的習題，現在都可以用殘數定理來做了。只要掌握了各種情況下殘數的求法就可以了，而且有時解題會顯得更為簡捷。

二、例題

分別用柯西定理或柯西公式或高階導數公式以及殘數定理計算下列積分。

例

解1因為使被積函數無意義的點ｚ=3在積分圓域｜ｚ｜=2的外邊，被積函數 在積分回路內為解析函數。由柯西定理（2）式，

得 =0

解2用殘數定理求解。因為被積函數在積分回路｜ｚ｜=2內無奇點，故其殘數為零。由殘數定理（1）式，

得 =0

通過以上例題可以看出，在計算復變函數的積分時，殘數定理與柯西定理、柯西公式和高階導數公式實際上是等價的。然而，殘數定理卻以簡潔的形式包含了復變函數積分的三個重要的定理和公式。只要能準確判斷被積函數的奇點類型，掌握了可去奇點，ｍ階極點以及本性奇點的殘數的計算方法，復變函數的積分就可以容易地用殘數定理計算出來。需要說明的是，殘數定理的真正應用價值并不僅局限于用來替代復變函數積分中的定理和公式，而是將復變函數論具體用來計算一些在實函數中未能解決的積分問題。利用殘數定理和關于ｍ階極點的殘數計算，可以將某些本來是非常復雜的幾乎無法下手的實函數積分，變得極其簡單。這對于研究實際問題來說是很有實用價值的。

【參考文獻】

［1］劉連壽，王正清.數學物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1990.

［2］汪德新.數學物理方法［M］.武漢：華中理工大學出版社，1997.

［3］梁昆淼.數學物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1997.

［4］鐘玉泉.復變函數論［M］.北京：高等教育出版社，1988.

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