巧用逆向思維解決數學問題

【摘要】用逆向思維解決數學問題通常有兩種表現形式，即從問題反面入手和由結論入手。反面入手主要方法是：補集法、反證法、反例否定法；結論入手主要方法是：分析法和同一法。

所謂逆向思維，就是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。是用大多數人沒有想到的思維方式去思考問題、處理問題，以“出奇”而達到“制勝”。運用逆向思維，有利于克服思維定式的保守性，培養創新能力。有些數學問題，可以考慮用逆向思維的方法，把問題倒過來想一想，往往能收到意想不到的效果。

一、由反面入手

對于某些數學問題，若從正面來看情況復雜，其反面情況卻比較簡單，不妨從其反面去思考和探索，得出反面結論，再由反面結論確定其正面結論，以使問題得以解決。體現在解題過程中的主要方法是：補集法、反證法和反例否定法。

（一）補集法:借助集合的性質，運用補集法思想去考慮問題的反面

例１，已知集合Ａ＝｛x∈Ｒ∣ｘ2－４ｍｘ＋２ｍ＋６＝０｝，若Ａ∩（－∞，０）≠φ，求實數ｍ的取值范圍。

分析：集合Ａ表示一元二次方程ｘ2－４ｍｘ＋２ｍ＋６＝０的實根組成的集合，Ａ∩（－∞，０）≠φ說明該方程至少有一個負實根，若對ｍ分類討論，則比較麻煩，若考慮其反面，即Ａ∩（－∞，０）＝φ，即該方程沒有負實根，則比較容易。

解：設全集Ｕ＝｛ｍ│△=（-4m）2-4（2m+6）≥0｝=｛m│m≤-1或m≥3/2｝，

設方程x2-4mx+2m+6=0有兩非負實根為x1，x2.由韋達定理得

x1+x2=-（-4m≥0）

x1x2=2m+6≥0

△=（-4m）2-4（2m+6）≥0

解得：m≥3/2，則｛m│m≥3/2｝關于集合U的補集｛m│m≤-1｝即為所求。

（二）反證法：對于要證明的命題結論以“至多”或“至少”形式出現，或唯一性命題，適宜用反證法，其實質是證明命題的逆否命題成立，即“否定的結論否定的題設”

例2若a>0，b>0，a3+b3=2，求證：a+b≤2

分析：本題結論的反面是唯一的，用反證法證明比較容易。

證明：假設a+b>2，

∵（a+b）2≥4ab，

∴2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）［（a+b）2-3ab］≥（a+b）ab>2ab，

則ab<1.又a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）［（a+b）2-3ab］>2（22-3ab）

∵a3+b3=2

∴2>2（4-3ab）則ab>1，前后矛盾，故a+b≤2.成立。

（2）反證法必須從否定結論進行推理，即把結論的反面作為條件，并根據這個條件進行推證，若只否定結論而不從結論的反面進行推理，就不是反證法；（3）推導出的矛盾可能多種多樣，但必須是明確的。

（三）反例否定法：數學史證明，對數學中探索的重大課題與數學猜想，能舉出反例予以推翻，與給出嚴格證明予以肯定，是同等重要的。數學是培養抽象概括能力、邏輯思維能力、運算能力和空間想象能力的重要課程。但是由于其內容的高度抽象與概括性、嚴密的邏輯性、獨特的“公式語言”、簡練的表達方式，數學常常成為學習的第一個難關。

例3反函數與原函數的圖象交點一定在直線y=x上嗎？學習完反函數后，有這樣一個重要性質：函數y=f（x）的圖象與其反函數y=f-1（x）的圖象關于直線y=x對稱。因此，大部分同學認為：函數與其反函數圖象的交點一定在直線y=x上。實際上，舉一個簡單的反例即可說明此結論是錯誤的，如y= 的反函數仍為y= ，兩圖象是重合的，當然有無數多個交點，而且只有（1，1）、（-1，-1）兩點在直線y=x上，其余均不在此直線上。

二、由結論入手

（一）分析法：從求證的問題出發，逐步尋求使問題成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的結論成立，這種解決問題的方法就是分析法。

例4已知a，b∈R，且a+b=1，求證：（a+2）2+（b+2）2≥ .

證明：要證（a+2）2+（b+2）2≥ .即證a2+b2+4（a+b）+8≥

由于b=1-a需證a2+（1-a）2+4+8≥ 即證（a- ）2≥0而上式顯然成立

所以（a+2）2+（b+2）2≥ .成立。

（二）同一法：一個命題，若它的題設和結論所指的事物都是唯一的，那么原命題和它的逆命題中，只要有一個成立，另一個就一定成立，這個原理叫同一法則。在同一法則的前提下，當要證明的問題不易證明時，可以證明它的逆命題成立，這種方法叫同一法。

例5求證：如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內的一點而垂直第二個平面的直線在第一個平面內。

已知:α⊥β，α∩β=CD，A∈α，AB⊥β。求證：AB α

分析：本題若直接證明不太好表述，由于過一點和一個平面垂直的直線只有一條，AB具有唯一性，所以證明宜采用反證法和同一法，下面用同一法證明。

證明：在平面α內作AE⊥CD，∵α⊥β，α∩β=CD，

∴AE⊥β，而AB⊥β，∴AE與AB重合。

∵AE α，∴AB α。

通過以上的分析和應用可以看出，逆向思維在解決有關數學問題時，能使你獨辟蹊徑，在多種解決方法中獲得最佳方法和途徑，使復雜的問題輕松破解。在平時的教學中，教師可適時地引導學生運用這種思維方法。

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