對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)概念教學(xué)的思考

摘要中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)，都反映出函數(shù)概念是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。該文分析了函數(shù)概念的重要性，探討了函數(shù)概念成為教學(xué)難點(diǎn)的原因，繼而提出了對(duì)函數(shù)概念教學(xué)的思考。認(rèn)為應(yīng)該注意概念的引入順序和方式，強(qiáng)化函數(shù)概念多種形式之間的轉(zhuǎn)化。

關(guān)鍵詞函數(shù) 概念 教學(xué)

中圖分類號(hào)：O122 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Thinking of the Function Concept in Middle School's Maths

LAI Shunfa

(Yudu No.8 Middle School， Ganzhou， Jiangxi 342300)

AbstractBoth the teaching and learning of middle schools' Maths reflects the concept of function is a difficult point. This paper analyses its importance and the reason for why it becomes a difficult point， then raises some thinking for the teaching of it. The paper thinks teachers should notice the introduction oder and method of the function concept， and stresses theconversion between a variety of forms.

Key wordsfunction; concept; teaching

0 引言

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容。函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，昭示著常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)函數(shù)的教學(xué)十分重要。原因在于：一是有利于牢固、透徹地掌握基礎(chǔ)知識(shí)；二是有利于使學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)；三是有利于與高等數(shù)學(xué)相互街接，以適應(yīng)繼續(xù)學(xué)習(xí)的需要；四是有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；五是有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以適應(yīng)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)和將來(lái)參加工作的需要。①

從中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的組織結(jié)構(gòu)看，函數(shù)是代數(shù)的串聯(lián)線。函數(shù)的方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中從運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)認(rèn)識(shí)和處理問(wèn)題的一個(gè)重要方法。利用函數(shù)方法可以分析中學(xué)數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容。一方面，利用函數(shù)方法，能把數(shù)、式子、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程（隱函數(shù)）、排列組合、極限與微分等有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)。另一方面，上述相關(guān)問(wèn)題在推演過(guò)程中遇到困難時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)方法來(lái)處理和解決。因此，函數(shù)的教學(xué)非常重要，應(yīng)當(dāng)給予充分的重視。

函數(shù)的教學(xué)貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，尤其是高中數(shù)學(xué)，更是以函數(shù)為中心。縱觀整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)構(gòu)架，函數(shù)的概念明確出現(xiàn)了三次。第一次是在初中三年級(jí)（也曾在二年級(jí)），介紹了函數(shù)的變量說(shuō)；第二次是高中一年級(jí)，引入集合、對(duì)應(yīng)的概念，并由此定義函數(shù)，給出定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，并研究基本初等函數(shù)；第三次是在高三年級(jí)，在微積分內(nèi)容中對(duì)函數(shù)做了進(jìn)一步研究。但是筆者在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，函數(shù)概念是中學(xué)生感到最難學(xué)的數(shù)學(xué)概念之一，學(xué)生的學(xué)習(xí)也有同樣反映。那么，這種現(xiàn)象的原因何在？如何有針對(duì)性地強(qiáng)化函數(shù)概念的教學(xué)呢？

1 函數(shù)教學(xué)困難的原因分析

1.1 函數(shù)概念的發(fā)展歷史復(fù)雜

最早于1692年，萊布尼茨首先使用了函數(shù)這樣一個(gè)術(shù)語(yǔ)；貝努利、歐拉、柯西、狄利克雷、黎曼、豪斯道夫、布爾巴基等都給出了各自的函數(shù)定義②，直到1920年代庫(kù)拉托夫斯基給出了抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)默F(xiàn)代定義，其間經(jīng)歷了二百余年的時(shí)間。函數(shù)概念也逐漸從直觀含糊發(fā)展到抽象精確。但是需要指出，隨著研究的深入，函數(shù)的概念仍處在不斷發(fā)展之中。

函數(shù)概念是隨著人們對(duì)客觀自然認(rèn)識(shí)的逐步深入而不斷發(fā)展的，它體現(xiàn)出一種發(fā)展變化的特點(diǎn)。人們對(duì)函數(shù)概念的理解的差異性，導(dǎo)致了其發(fā)展變化的復(fù)雜性。

1.2 函數(shù)概念的表述多樣

函數(shù)概念的表述具有多樣性，現(xiàn)行教材中的各種函數(shù)的定義，都可以在函數(shù)概念發(fā)展的歷史中找到其原型。下面截取幾個(gè)歷史的函數(shù)定義，加以例證。

定義1（柯西定義） 在某些變數(shù)之間存在著一定關(guān)系，當(dāng)已經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值也可隨之而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)稱為自變數(shù)，其他各變數(shù)則稱為函數(shù)。

定義2 （狄利克雷定義）對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。

定義3 （基于集合的定義）如果對(duì)于集合M中的每一個(gè)元素x，都有集合N的一個(gè)元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱y為x的函數(shù)。

定義4 （基于映射的定義）設(shè)f : A→B是一個(gè)映射，若A，B均為非空數(shù)集，且B的每個(gè)元素都有原象，則稱映射f : A→B是定義域到值域上的函數(shù)。

定義5 （現(xiàn)代定義）從集合A到集合B的函數(shù)f是滿足以下條件的從A到B的關(guān)系：

(1) D(f ) = A

(2) 若(a，b)∈f，(a，c)∈f，則b = c，函數(shù)f記作f : A→B。

歷史上還出現(xiàn)過(guò)很多形式的函數(shù)定義，它們視角有差異，針對(duì)的范圍有寬有窄，直觀性差別較大，嚴(yán)謹(jǐn)程度有差異，抽象程度也不同；有較粗糙描述性的，有較嚴(yán)謹(jǐn)同時(shí)利于理解的，有抽象嚴(yán)謹(jǐn)布哈理解的。在中學(xué)的知識(shí)體系中，從范圍狹窄、生動(dòng)直觀的描述性定義，過(guò)渡到較嚴(yán)謹(jǐn)抽象的定義，函數(shù)概念的表述形式多樣；在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，人們往往需要同時(shí)考慮幾種表示，選取適合于問(wèn)題的表示形式，并自如的在多種表示之間轉(zhuǎn)換，這也是函數(shù)難學(xué)的一個(gè)重要原因。

1.3 教師對(duì)于函數(shù)概念的理解需要強(qiáng)化

在與一些中學(xué)數(shù)學(xué)教師的交流中，筆者發(fā)現(xiàn)，部分教師雖然能夠自如地在多種函數(shù)表述間轉(zhuǎn)換，但是不能很好地向?qū)W生講清楚。究其原因，還是對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)不到位，需要強(qiáng)化對(duì)函數(shù)概念的理解。

2 關(guān)于強(qiáng)化函數(shù)概念教學(xué)的思考

2.1 重視函數(shù)概念多種表示的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生熟悉不同表示形式之間的轉(zhuǎn)化

抽象的表示具有一定的普適性，但是不容易全面理解。學(xué)生的理解往往也是片面的；直觀的較為粗糙的表示，使用的范圍狹小，但是它直觀，針對(duì)性強(qiáng)，利于理解；利用多種不同表示，可以擴(kuò)展函數(shù)概念的適用范圍，所以，需要對(duì)比不同表示，并靈活轉(zhuǎn)化。

2.2 重視不同表示的引入順序

函數(shù)的不同表示具有不同的抽象程度，反映現(xiàn)實(shí)對(duì)象的角度也有差異，尤其是它們?cè)跉v史中出現(xiàn)的先后是有順序的。個(gè)人對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程，要簡(jiǎn)約重復(fù)人類對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)過(guò)程，所以，在引入函數(shù)概念時(shí)，要注意引入的順序，遵循由先到后的次序。

2.3 重視用實(shí)例引入函數(shù)概念

函數(shù)概念起源于對(duì)自然認(rèn)識(shí)的加深，它反映了客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化和實(shí)際事物之間的某種依存關(guān)系。所以，在教學(xué)中要堅(jiān)持用實(shí)例引入函數(shù)概念，這樣既可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又便于讓學(xué)生有機(jī)會(huì)學(xué)以致用，拓展學(xué)生的實(shí)踐能力。

3 結(jié)論

函數(shù)概念十分重要，不僅與中學(xué)數(shù)學(xué)的諸多內(nèi)容聯(lián)系緊密，而且由于函數(shù)概念的基礎(chǔ)性，它影響深遠(yuǎn)，能對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)埋下伏筆。所以在教學(xué)中，不能僅僅側(cè)重于計(jì)算能力的培養(yǎng)，還要從函數(shù)概念出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西。

注釋

①陳志云，鄧樂(lè)斌.函數(shù)概念與中學(xué)數(shù)學(xué)[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999（5，1）:6-10.

②克萊茵M.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，2009.10(1-4冊(cè)).