非圓形截面受扭構件橫截面切應力半逆法求解

摘要本文主要介紹以彈性力學基本理論為基礎的應力函數法求解非圓形截面受扭構件橫截面上切應力的求解方法，并對三角形截面構件進行求解，為其他截面形式的受扭構件的求解作一參考。

關鍵詞材料力學 受扭構件 切應力 非圓形截面 應力函數法

中圖分類號：O189 文獻標識碼：A

Introduction of Semi-inverse Method to Solve the Transverse of Torsion Member Shearing Stress Non-circular Cross Section

MA Jun

(Architecture and Resource Engineering Dept. Jiangxi University of Science and Technology，

Nanchang， Jiangxi 330013)

AbstractThis article introduces the stress function method based on theory of elastic mechanics for solving the shearing stress on the cross section and the solving methods for triangle cross section. And this is a reference for solving other cross sections torsion member.

Key wordsmaterial mechanics; torsion member; shearing stress; non-circular cross section; stress function method

1 求解方法基本理論

對于線性彈性理論問題的求解，根據處理的方法不同，彈性理論的基本解法可分為：位移解法、應力解法和應力函數解法。

以應力函數作為基本未知量來求解，其定解微分方程是用應力函數表示的協調方程，對于無體力情況可以寫成

對于幾類特殊問題，應力函數解法得到了廣泛的應用，其中包括采用Airy應力函數求解的平面應力問題和采用Prandtl應力函數求解的柱形桿扭轉問題。

半逆解法的基本方法是把三維問題簡化為二維問題，或甚至一維問題，即把三維域上的偏微分方程邊值問題化為二維域上的偏微分方程問題，或化為一維的常微分方程問題。對于彈性力學的簡單問題，可根據材料力學的截面剛性轉動假設得到等截面圓軸扭轉問題的常微分方程并進行求解。

需要注意的是，這種簡化假設總有一定的適用范圍。例如對于圓軸所做的截面剛性轉動假設就不能用于非圓截面的柱形桿。如對于柱形桿的自由扭轉問題，如圖所示的柱形體，僅在兩端扭矩作用下產生的扭轉變形。顯然，為了保持整體平衡，作用在兩端的扭矩必定大小相等、方向相反。

按圓軸扭轉假設得到的剪應力方向

按照材料力學圓軸扭轉的截面剛性轉動假設，在扭轉時截面保持平面，如果這假設對于非圓截面柱形桿扭轉也能適用，那么兩根截面形狀不同、材料相同的柱桿，只要截面的極慣性矩相等，就有相同的抗扭剛度。實驗表明，這種推廣是不正的，假如采用與圓軸扭轉同樣的假設，在非圓截面上的剪應力分布將如下圖所示，在截面邊界點處的剪應力方向將沿與邊界相交的虛線圓的切線方向，而不是沿著邊線的切線方向。根據剪應力互等定理，在柱形桿的側表面必須作用有剪力，但這是實際情況不符的。

為了克服上述存在問題，將上述假設稍加修正：任意截面柱形桿在自由扭轉各截面在面內發生剛性轉動、同時在軸向產生相應的翹曲變形，以滿足側表面自由邊界條件；上述剛性轉動角是軸向坐標的線性函數，而各截面的翹曲變形是相同的用數學公式表達，即：x = - yz， y = yz， z = w(x， y)

其中w(x，y)稱為翹曲函數，它只是截面內坐標x，y的函數。

根據假設，和圓軸扭轉一樣，在xy截面內的應變分量均為零，z軸向的正應變也為零。于是非零的應變分量只有橫向剪應變：

利用廣義胡克定律可以求得相應的非零應力分量，即橫向剪應力：

由于和圓軸扭轉相比引進了翹曲位移，因此可通過翹曲滿足側表面無外力作用的條件

t t = zxnx + zyny = 0

即在邊界各點：

根據上圖所示微元的平衡可以列出一個平衡方程：

將，代入此式，即得用翹曲函數表示的平衡方程：

此方程在截面域上的任意點均應滿足，為了定解還要有相應的邊界條件。由應力還可求得作用在橫截面上的剪應力產生的扭矩：

其中I為截面抗扭常數。對于圓軸的特例，w = 0，IT即為退化為截面的極慣性矩。

對于任意截面的柱形桿，由截面幾何可以確定截面抗扭常數，考慮材料的剪切模量，即得桿的抗扭剛度。在兩端作用的扭矩T的作用下，桿的單位長度扭轉角為：=

由上述幾何方程還可導出應變分量之間必定滿足的條件：

也就是變形協調方程。代入廣義胡克定律還可以得到用應力表示的變形協調方程：

由于兩個不同類型的偏微分方程聯立不便于求解，通常引進如下，使平衡方程對任意的均能自動滿足：

將此式代入(27)式，即得用應力函數表示的變形協調方程：

代入(20)式即得相應的邊界條件：

即在每條邊界線上，各點的為常值。對于單連通域，即實心桿的情況， = 0，連立求解上式就能將應力函數定解。解出應力函數之后，利用面上的應力分布可進一步還可求得扭矩：

對于單連通域，由此還可得到：

由此式，考慮到邊界條件 = 0，可見：柱形桿的抗扭剛度就等于在邊應力函數在截面域上積分的兩倍除以。

2 三角形截面受扭桿橫截面切應力求解

對于一些截面形狀規則的柱形桿扭轉問題可用扭轉應力函數法求得解析解。首先根據截面形狀假設能滿足邊界條件的應力函數，然后將應力函數代入變形協調方程定出其中的待定常數，即可求解。對于截面邊長為a的等邊三角形截面桿，其截面如下圖所示，其邊界線方程為：

可設扭轉應力函數為：

可以解得：

沿x軸zx = 0，非零應力分量為：

最大剪應力發生在長邊的中點，其值為：max =

截面抗扭剛度為：GIT == GIP

3 結論

材料力學中簡單介紹了非圓形受扭構件（矩形）橫截面上的應力分布，本文通過應用彈性力學中的應力函數法對求出了非圓形（三角形）截面受扭構件橫截面上的切應力，從而為進一步確定此類構件的應力分布和求解提供一定的參考。

參考文獻

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