隨機變量的數(shù)學期望的應用

摘要本文的第一部分應用數(shù)學期望的相關知識去解決高等數(shù)學中一些難以計算的積分問題以及無窮級數(shù)的求和問題，并將這些問題加以推廣得到一般的計算公式。在本文的第二部分通過實例分析向讀者介紹數(shù)學期望在實際問題中的應用。

關鍵詞數(shù)學期望 積分的計算 無窮級數(shù)的求和 決策 最大利潤

中圖分類號：O211文獻標識碼：A

Application of Mathematics Expectation of Stochastic Variable

KOU Bingyu， TENG Xinghu

(Department of Applied Mathematics， Mathematics Department， Science School，

The PLA University of Technology， Nanjing， Jiangsu 211101)

AbstractIn the first part of this paper，the author will apply the knowledge which is relevant to the mathematics expectation to calculating a kind of integrations and infinte series.It is difficult to solve these questions ，if we use the methods of advanced mathematics.In the second part of the paper ，the author will illustrate the application of mathematics expectation in the real world by examples.

Key wordsmathematics expectation; calculation of integrations; the sum of infinte series; making decisions; the maximum of profit

英國邏輯學家和經(jīng)濟學家杰文斯曾說：“概率論是生活真正的領路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為。”概率論這一數(shù)學分支也不負眾望，在眾多領域內(nèi)扮演著越來越重要的角色，取得越來越廣泛的應用。數(shù)學期望作為隨機變量的一個重要的數(shù)字特征也有著其非常重要的意義，下面從基礎應用性和實際應用性兩個方面來向讀者介紹隨機變量的數(shù)學期望。

1 數(shù)學期望在高等數(shù)學的一些復雜計算中的應用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是高等數(shù)學的后繼課程，其發(fā)展離不開高等數(shù)學的思想和方法。但是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的思想也為解決高等數(shù)學中的一些復雜計算提供了事半功倍的途徑。下面從兩個實例出發(fā)，看看概率論的思想是如何解決高等數(shù)學中復雜的計算問題的？

1.1數(shù)學期望在積分計算中的應用

例1 計算積分

解：將被積函數(shù)整理得，聯(lián)想到服從正態(tài)分布的隨機變量的密度函數(shù)的形式，可以嘗試將被積函數(shù)化成服從某一正態(tài)分布的密度函數(shù)的形式，這樣本題事實上就轉(zhuǎn)化為了計算隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望的問題，從而使計算過程簡單化。所以

其中，X~N(-2，)，故E(X) = -2，D(X) = ，從而

E(X2) = D(X) + E2(X) =

所以根據(jù)數(shù)學期望的性質(zhì)容易得到

E(2X2 + 4X + 5) = 2E(X2) + 4E(X) + 5 = 6

故

事實上，我們可以將這一方法推廣到計算這類積分的一般形式，具體如下：

例2 計算積分

解：解：將被積函數(shù)整理得

其中，X~N(- ，)，故E(X) = - ，D(X) = 從而

所以根據(jù)數(shù)學期望的性質(zhì)容易得到

1.2數(shù)學期望在無窮級數(shù)求和中的應用

例3 求n2()n-1

解：在高等數(shù)學中這類無窮級數(shù)的求和也是非常麻煩的，但是如果我們在這里將概率論的思想引入的話就會將計算過程簡單化。引入隨機變量，設隨機變量服從p = 的幾何分布，即P{ = n} = ·()n-1，則E() == 5，

D() == 20，從而E(2) = D() + E2() = 45

又由于E(2) = n2··()n-1=n2·()n-1 = 45，

故n2()n-1 = 45€? = 225

同樣，我們也可以將這一方法推廣到計算這類無窮級數(shù)的和的一般形式，具體如下：

例4 求n2qn-1（其中0＜q＜1）

解：引入隨機變量，設隨機變量服從p = 1 - q的幾何分布，即P{ = n} = p·qn-1，則E() = ，D() =，

從而E(2) = D() + E2() =

又由于隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望的計算可知

E(2) = n2·p·qn-1= p n2·qn-1，

從而p n2·qn-1 = ，

故n2qn-1 ==

2 數(shù)學期望在實際問題中的應用

現(xiàn)實社會中具有很多的不確定因素，那么我們?yōu)榱私鉀Q當前或未來可能發(fā)生的問題，在若干可供選擇的行動方案中選擇一個最佳方案，這一過程就成為決策。因此，我們在決策分析過程中，需要進行縝密的邏輯思考，靈活運用概率論知識，這樣就很容易解決一些實際的問題。然而隨機變量的數(shù)學期望在我們的決策中又起到了至關重要的作用。下面，我們結(jié)合具體的實例來看看數(shù)學期望在我們實際生活中的應用。

2.1 數(shù)學期望在生活決策中的應用

現(xiàn)在我們來分析法院受理的一宗民事糾紛案例。 如若當事人將案件提交法院訴訟，當事人不僅僅要考慮勝訴的可能情況下所帶來賠償費用，還應考慮到所應承擔的訴訟費。這里就涉及到我們的決策問題——理性的當事人往往權(quán)衡之后，做出決策：私下協(xié)商賠償費用而趨于和解，免于起訴。

在下班交通高峰時段發(fā)生一起小型轎車追尾事故，事故造成乙車車主經(jīng)濟損失15萬元，若將案件提交訴訟，訴訟費用共0.5萬元，按雙方所負責任的比例由雙方共同承擔。經(jīng)事故現(xiàn)場的勘察分析，法院對事故的判決有三種可能性：

（1）甲車車主應承擔100%的責任，賠償乙15萬元經(jīng)濟損失費，并支付全部的訴訟費。

（2）甲車車主應承擔70%的責任，賠償乙10.5萬元經(jīng)濟損失費，且支付訴訟費3500元（全部訴訟費的70%），乙支付剩余30%的訴訟費1500元。

（3）甲乙兩車車主各承擔50%的責任，甲向乙賠償7.5萬元的經(jīng)濟損失費用，訴訟費由雙方各承擔一半。

乙車車主估計第（1）（2）（3）種情況發(fā)生的概率分別為，0.2，0.7 和0.1， 如果甲車主希望私下和解，他應至少給乙多少數(shù)額的賠償費，才會使乙從經(jīng)濟收益上考慮而作出和解的決策？

解：要使乙車車主考慮和解，就要將甲車車主的賠償金額與乙車車主上訴的情況下所得的期望收益進行比較，如果賠償金額大于上訴時的期望收益，為了免于上訴麻煩，乙車主自然會考慮免于上訴，因此，本題就轉(zhuǎn)化為了計算乙車車主的的期望收益問題，也即是要計算在上訴的情況下乙車主所獲得的平均收益，即計算三種情況下收益的平均值，從而將這一決策問題轉(zhuǎn)化為了計算數(shù)學期望的問題。引入隨機變量X表示乙車主在上訴時可獲得的收益(單位：萬元)，顯然X為一離散型隨機變量，結(jié)合題意，可得其分布律如下：

則乙車車主在上訴時獲得的期望收益為：E(X) = 15€?.2+(10.5-0.8€?.3)€?.7 + (7.5-0.5€?.5)€?.1 = 10.97(萬元)

因此，甲車車主至少應給乙車車主10.97萬元，才會使乙車車主考慮做出和解的決策。

2.2數(shù)學期望在經(jīng)濟學中的應用

數(shù)學的發(fā)展離不開它在現(xiàn)實世界的應用。數(shù)學的嚴謹應和強大的應用性，使它與經(jīng)濟問題的解決有著密不可分的關系。下面我們用數(shù)學期望以及微積分的有關知識，來看看數(shù)學期望在經(jīng)濟決策中的應用，分析一下商家是如何制定銷售方案以達到最大利潤的。

例：市場上對某種商品每年的需求量X(噸)服從區(qū)間(2000，4000)上均勻分布，某一代理商進貨數(shù)量為區(qū)間(2000，4000) 中的某一數(shù)值，代理商每銷售一噸商品可獲利3萬元；若供大于求則打折處理，每處理一噸商品虧損1萬元；若供不應求，則經(jīng)調(diào)劑后仍可滿足銷售，但此時每噸商品僅獲利2萬元。這個代理商應如何確定進貨量，才能使所獲得的平均利潤最大？

解：由于X是隨機變量，在已知其概率分布的前提下構(gòu)造利潤函數(shù)（它是X的函數(shù)），根據(jù)期望利潤最大，確定最佳進貨量或最佳存儲量，為隨機存儲決策提供了切實有效的數(shù)學模型。

設進貨量為a噸，利潤為Y萬元 ，構(gòu)造利潤函數(shù)為

X的密度函數(shù)為

根據(jù)隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望，得

因此，當a = 3000(噸)時，即進貨量為3000噸時，可以獲得最大利潤8500萬元。

通過本文的例子，我們看到數(shù)學期望不僅僅在高等數(shù)學的復雜計算中起到簡化計算的強大作用，也看到了數(shù)學期望在我們現(xiàn)實生活中解決實際問題所發(fā)揮至關重要的決策作用，因此隨機變量的這一數(shù)字特征無論是在學術上還是在生活中都為我們提供了極大的便利。

參考文獻

[1]盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社，2008.6.

[2]復旦大學.概率論[M].人民教育出版社，1989.

[3]孫榮恒.趣味隨機問題[M].北京:科學出版社，2004.

[4]張立新.概率統(tǒng)計極限理論及其相關問題[J].國際學術動態(tài)，2007(3).

[5]卓澤強.概率思想在高等數(shù)學計算中的應用研究.科技資訊，2010(20).

[6]李智明.概率方法在其它數(shù)學問題中的應用[J].河北北方學院學報(自然科學版)，2007(4).

[7]王大胄.例談概率論與微積分的聯(lián)系及相互間的應用.沈陽工程學院學報(自然科學版)，2008.7.4(3).

[8]郭立娟.數(shù)學期望的應用舉例[J].大眾科技，2006(7).

[9]肖文華.離散型隨機變量的數(shù)學期望應用舉例.重慶科技學院學報(自然科學版)，2009.2.

[10]易艷春.概率統(tǒng)計在經(jīng)濟學中的應用.廊坊師范學院學報(自然科學版)， 2009.4.

[11]孫平利.概率統(tǒng)計在企業(yè)風險決策中的應用.科技經(jīng)濟市場，2010.1.