新課程下數學課堂教學中的解題策略

摘要解題作為數學教學中最重要的一環，培養學生解題技巧和思想方法一直是我們關注的方向，而課堂教學中解題策略傳授卻被大多數教師忽略，由提出問題，提什么樣的問題到解出問題，怎樣讓學生解出問題？本文給出了一些總結。

關鍵詞問題 解題 策略

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A

The Problem-solving Strategies in Mathematics Classroom

Teaching Under New Curriculum

SUN Xiaoling

(Lin'an Yuqian Middle School， Hangzhou， Zhejiang 311311)

AbstractProblem-solving as an very important part of Mathematics teaching， we always notice about training students' problem-solving skill and thinking style， but most of us ignore the teaching of problem-solving strategies， this paper gives some summaries about it.

Key wordsquestion; problem-solving; strategy

1 問題的構建

數學的真正部分是問題和問題的解決，數學教學的核心就是培養學生解決數學問題的能力，在課堂教學中營造不用的問題氛圍，引導學生進入教學活動，一起參與對問題的分析、探究解題方法及其本質。對問題本身的構建成功與否直接關系到學生是否充分發揮了自己的創新思維能力和方式，問題的創設一般可以從以下幾個方面入手：

（1）生活中發現數學問題。直接從生活情境中發現數學問題，在學生周圍根據實際的情形讓學生主動發現問題，引起思維上的沖突，激發學生學習新知識的興趣和動力。

（2）數學問題的聯系實際生活。數學概念規律在生活中的模型實例，許多排列組合的題目都可以在生活中找到切實的模型，教師就可以借助現成的實際模型聯系課本中抽象的數學概念及規律，使學生覺得數學知識不是枯燥乏味的純理論學科。

（3）“好問題”的標準。什么是“好問題”？“好問題”應具有張奠宙教授在《數學素質教育設計（草案）》中所提出的五個標準：①對學生來說不是常規的，不能靠簡單的模仿來解決；②可以是一種情景，其中隱含的數學問題要靠學生自己去提出、求解并作出解釋；③具有趣味和魅力，能引起學生的思考和向學生提出智力挑戰；④不一定有終極答案，各種不同水平的學生都可以由淺入深的作出回答；⑤解決它往往需伴以個人或小組的數學活動。

但好問題不一定就是一個相當復雜的問題，它甚至可以是一個很簡單的，生活實踐中十分常見和答案顯而易見的問題，只要它透露著必要的數學思想和有一定的啟發。

2 常見的策略簡述

2.1 定義法

概念與其定義是對研究對象本質屬性的描述和界定，因而是數學推理論證的邏輯基礎，對于某些數學問題，如果從所涉及的數學概念的原始定義去考慮，往往能獲得題設信息所固有的本質屬性。

例1 設a為實數，函數f (x) = x2 + |x - a| + 1，x∈R求f (x)的最小值。

分析因為函數解析式中含有絕對值，利用絕對值的定義去掉絕對值符號，可將問題轉化為熟悉的二次函數在給定區間上求最值的問題。

解：（1）x≥a時，f (x) = x2 - x - a + 1 = (x + )2 - a +

若a≤- ，則f (x)在[a， + ∞)上的最小值為f (- ) = - a；若a＞- ，則f (x)在上[a， + ∞)單調遞增，f (x)的最小值為f (a) = a2+ 1。

（2）x≤a時，f (x) = x2 - x + a + 1 = (x - )2 ++ a

若a≤- ，則f (x)在(∞-， a]上的最小值為f (a) = a2+ 1；若a＞，則f (x)在(∞-， a]上的最小值為f () =+ a。

綜上a≤- ，時，f (x)的最小值為 - a，；＜a≤時，f (x)的最小值為a2+ 1；a＞時，f (x)的最小值為 + a。

2.2 特殊化與一般化

特殊化與一般化是相輔相成的辨證思維過程。所謂特殊化，就是縮小研究對象的原有范圍或增加約束條件的思維方法，表現為一種“以退求進”的解題策略，華羅庚先生說過：“解題時要足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，認透了，鉆深了，然后再上去”。

所謂一般化，就是把研究對象或問題從原有范圍擴展到更大范圍內進行考慮的思維方法，表現為一種“以進求退”的解題策略。

例2 設a1、a2、a3、a4、a5都是大于1的實數，證明：

16(a1a2a3a4a5 + 1)＞(1 +a1 )(1 + a2)(1 + a3)(1 + a4)(1 + a5)

分析改證一般性命題：若a1、a2、a3、a4、a5都大于1，則n＞2時，2n-1(a1a2a3…an + 1)＞(1 +a1 )(1 + a2)(1 + a3)…(1 + an)，n = 5時即為原命題。

證明①n = 2時，易證2(a1a2 + 1)＞(1 + a1 )(1 + a2)；

②設n≤k時命題成立，則n = k + 1時，

2k(a1a2…akak+1+ 1) = 2k-1[a1a2…(akak+1)+ 1]

＞2·(1 +a1 )(1 + a2)…(1 + ak-1 )(1 + akak+1)

＞(1 +a1 )(1 + a2)…(1 + ak-1 )(1 + ak)(1 + ak+1)

即n= k + 1時一般性命題成立；

綜上，一般性命題成立，從而n = 5時命題成立。

所以，當a1、a2、a3、a4、a5大于1，則16(a1a2a3a4a5 + 1)＞(1 +a1 )(1 + a2)(1 + a3)(1 + a4)(1 + a5)

2.3 利用對稱性

從原始的意義上說，對稱性是指組成某一事物的幾部分之間的對等性，反映到數學上，可分為數、式的對稱和圖形的對稱性兩大類，例如，代數式的對稱輪換性，奇函數的定義，二項式的系數，幾何圖形的軸對稱及中心對稱性，等等；都是對稱在數學中最基本最直接的表現形式，是數學美的一種具體體現。

例3 A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰），那么不同排法共有多少種？

分析：本題若分類討論，較為繁瑣，換一個角度考慮問題，在五人的全排列中，B站在A的右邊的排法與B站A在的左邊的排法數相等，依對稱性原則，所求排列數為。

除了上述的策略之外，其他的策略還有利用圖形、正難則反（反證法）、函數思想等等。

3 幾點反思

解題策略的傳授與發現是新課程數學教學中非常重要的一環，關鍵在于教師在課堂教學中給學生主動探究、自主學習的空間，因為學生數學能力的提高，不是通過教師講解或完全靠課本上的間接經驗達成的，而更多的是通過自己的探究和體驗得來的，在探究和自主學習中，他們能夠形成多方面的能力和技能。

在另一方面，教師應當營造合作式學習環境，并鼓勵學生大膽用頓悟知覺去尋找問題解決的策略，鼓勵學生在進行獨立探究和小組討論中積極參與對解題策略的評論和發現，鼓勵學生自主創作，敢說、敢想、敢動手操作、敢問、敢討論，鼓勵學生尋求多向、多維的交往形式，增加師生、生生之間的多維有效互動。

最后，激發學生多方面的思維和尋求民主和諧的課堂教學氣氛，民主和諧的課堂教學氣氛是良好課堂秩序的重要組成部分，也是學生積極參與解題策略探究和實現的重要保證，教育過程是教育者幫助受教育按照預期方式變化的過程，教師的主要任務是確定學生應發生什么變化，以及在次過程中如何為他們提供幫助，因此教師必須把知識形態轉化為解題策略形式，抓住了“問題”這個數學的“心臟”，也就能是數學課堂教學中達到教學相長的良性循環。

參考文獻

[1]特級教師論課堂教學改革.浙江教育出版社，2002.

[2]（美）波利亞（Polya G.）.怎樣解題.上海科技教育出版社，2004.

[3]初等數學研究教程.吉林科技教育出版社，2004.