談平面幾何證明教學中要解決的問題

摘要如何尋求證明思路，對初學幾何的人來說是一個困難的的問題，由于不會分析證明思路，或者思路不夠開闊，證明時往往茫無頭緒盲目亂撞。因此，引導學生掌握一些證題怕思路和方法，培養學生自覺地分析問題和解決問題的能力，就成為提高幾何學習質量的關鍵。

關鍵詞平面幾何 證明 教學

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A

Problems in Plane Geometry Proving Teaching

CHEN Biao

(Huizhou No.2 Middle School， Huizhou， Guangdong 516001)

AbstractHow to seek proof ideas is a difficult problems for a new learner of Geometry， for they can not analyse proof ideas， or lack of wide idesa， they usually are blindness in the proving process， so guiding the students to grasp some ideas for solving Plane Geometry problems and training theirability to consciously analyze and solve the problems become the key point of improving the learning quality of Geometry.

Key wordsPlane Geometry; prove; teaching

如何尋求證明思路，對初學幾何的人來說是一個困難的的問題，由于不會分析證明思路，或者思路不夠開闊，證明時往往茫無頭緒盲目亂撞。因此，引導學生掌握一些證題怕思路和方法，培養學生自覺地分析問題和解決問題的能力，就成為提高幾何學習質量的關鍵。根據筆者多年的教學經驗，要搞好幾何證明的教學，必須解決好以下問題。

1 要讓學生掌握常用的證明的基本思路

證明的基本思路有：（1）引用適當的定理；（2）轉換證明的結論；（3）變換圖形的位置；（4）形數結合，利用計算。而在這些證明思路中，最常用的是引用適當的定理。下面重點談談如何運用這一思路。

眾所周知，證明每道證明題都要引用定義、公理、定理作為論據，在引用為論據的這些命題中，最主要、最常用的是已知定理，因此，學會引用已知定理是學會幾何證明的起點和關鍵。在引用定理進行證明的過程中，對初學幾何的學生來說困難有二：其一是不會選用適當的定理；其二是雖知要引用某定理，但不會創造條件來實現。下面分別來談談這兩個個問題。

1.1 如何選用適當的定理

在證明過程中，所引用的定理必須是聯系證題條件和結論的“鏈環”，因此定理的前提與結論必然和欲證命題的條件與結論密切相關，也就是說，所引用定理和欲證命題之間必須滿足下列兩個條件：（1）兩者的結論應具有一致性，這樣才能通過定理導出欲證的結論；（2）兩者的條件應具有相應性（即大致相符或有一定聯系），這樣才能為引用定理提供充分的依據。下面舉例說明。

例 試證：如圖，若△ABC的外邊作正方形ABEF和ACGH，則△ABC的高AD必將平分線段FH。按照結論的一致性，根據教材，可選用下列定理：（1）線段垂直平分線性質定理；（2）角平分線性質定理；（3）三角形中位線定理的逆定理；（4）梯形中位線定理的逆定理；（5）平行四邊形性質定理；（6）等腰三角形三線合一的特性；（7）圓的垂徑定理及其推論；（8）全等三角形的性質；……

但是，從條件的相應性來考慮，可知宜選用（3）、（4）、（5）、（8），于是可確定所引用的定理。

1.2 如何根據所選用的定理導出欲證的結論

所選用的定理對證題雖然有了相應性，但只能大致相符或有一定聯系，不能完全具備。因此，要從所選用的定理導出欲證結論，還必須做好以下兩方面工作：（1）若已知圖形按所選用定理的要求尚不完備，則應添添輔助線加以完備。這是添輔助線的重要思考方法之一；（2）若證題條件對定理的前提的要求尚欠充分，則先證所缺條件，于是問題便轉換為引用另一個定理。

如上例題，若選用“三角形中位線定理的逆定理”來證明，就應構成滿足下列條件的三角形：（1）直線AD過該三角形的一邊的中點；（2）直線AD平行于該三角形的另一邊；（3）線段FH為該三角形的第三邊。

于是，得出添輔助線的方法及其證明方向（如圖①）為：延長HA到K，使AK=HA，連結FK，證明AD∥FK。

證明：延長HA到K，使AK=HA，連結FK。

在△AFK和△ABC中，AF=AB，AK=HA=AC?！螰AK=∠BAF－∠BAK=90€埃螧AK（若∠BAC＞90€埃頡螰AK= 90€?∠BAK），∠BAC=∠KAC－∠BAK=90€埃?∠BAK，∴∠FAK=∠BAC，∴△AFK≌△ABC，∴∠K=∠ACB，又∵∠ACB=90€埃螩AD， ∠MAH=180€埃螲AC－∠CAD=180€埃?0€埃? ∠CAD=90€埃螩AD，∴∠ACB= ∠MAH，∴∠K=∠MAH，∴MA∥FK，又∵AK=HA，∴AD平分線段FH。

若選用梯形中位線定理的逆定理，就得構成一個滿足下列條件的梯形：（1）直線AD過該梯形一腰中點；（2）直線AD平行于該梯形兩底；（3）FH為該梯形的另一腰。

為此，過點A作BC的平行線，過F、B作AD的平行線，分別交于點K、L（如圖②），證明AK=AL。

若選用平行四邊形性質定理，就得構成一個滿足下列條件的四邊形：

（1）AF、AH為該四邊形的兩鄰邊，FH為對角線；（2）另一條對角線在直線AD上，即該四邊形的第四個頂點在直線AD上。

為此，過點F作FK∥AH，與DA的延長線交于K，連結KH（如圖③），證明四邊形AHKF是平行四邊形。

若選用全等三角形的性質，就得構成包含線段FM、HM為對應邊的全等三角形。

作FK∥AH，交DA的延長線于K，證明△FMK≌△HMA（如圖④）；

從上可看出，若能引用適當的定理，往往能做到一題多證，開闊證題思路，提高證題技巧。因此，教學中必須要求學生熟悉課本的每一個定理，弄清每個定理的題設和結論是什么，知道每個定理能用來證明什么類型問題，按用途進行分類，如能用來證明線段相等的定理分為一類，能用來證明兩直線互相平行的定理分為一類等。把定理按用途進行分類，既便于記憶，也便于引用。學生若能做到以上幾點，在解證明題時，便能做到得心應手，游刃有余，很快找到解題的方向。

2 要讓學生掌握常用的證明方法

中學接觸的證明方法有四種—綜合法、分析法、同一法和反證法。而最常用的方法是綜合法和分析法。論證某個命題時，若以該命題的題設出發，根據已知條件，逐步推演，最終導致結論，簡而言之，即是由因導果，這樣的思維方法叫綜合法。所謂綜合，就是把各個獨立而互相關連的事物或現象綜合起來的意思。在論證某個命題時，若以該命題的結論出發，逐步追溯它成立的根據，直到皆為已知事實為止，簡而言之，即是執果索因，這樣的思維方法叫做分析法。所謂分析，就是通過分析矛盾，創造條件，解決矛盾。幾何的一切論證，其基礎皆起源于公理，而由此推演出來的定理，卻是無窮無盡的，可見由因導果，枝歧無窮，執果索因，尋根較易，所以在思考證法上分析法優于綜合法。但是分析的思路是逆索其源，不及綜合法思路自然，故在表述方面，分析法不及綜合法。而兩者是相互聯系的，沒有分析的綜合是盲目的綜合，其結果將是現象的羅列，條理不清。沒有綜合的分析是零亂的分析，其結果將是雜亂無章，說服無力。正如赫爾岑所說：“沒有綜合的分析或沒有分析的綜合，都是沒有用的”。由于分析法利于思考，綜合法宜于表述，兩者各有利弊，故解決問題時，通常是互相結合起來使用，對于證明一個命題，一般先用分析法尋求解法，然后用綜合法有條理地敘述出來。在教學中怎樣才能把兩者有機地結合起來，更有利于學生掌握證題的基本方法呢？采用逆向板書法能解決這一問題。下面舉一個大家非常熟悉的例子來說明這一板書法的優點。

例 求證：三角形三內角之和等于180€啊?

已知：△ABC，∠A、∠B、∠C是其內角。

求證：∠A+∠B+∠C=180€啊?

分析：（1）需證∠A+∠B+∠C=180€?，由又k槌善澆塹鬧罱塹暮臀?80€埃恃映C到D構成平角∠BCD，于是只需證明∠A+∠B+∠C=∠ACB+∠ACD就可以了。（2）由于∠ACB即∠C，因此證明∠A+∠B+∠C=∠ACB+∠ACD，即是證明∠A+∠B=∠ACD。（3）為了證明∠A+∠B= ∠ACD，若能把∠ACD分解為分別等于∠A、∠B的兩個角即能解決問題，為此需要尋求分解該角的輔助線。（4）這樣形式的等角關系是平行線所具有的，為此作CE∥BA，根據平行線的性質，問題便得到解決。

根據以上分析，板書過程如下：

⑥ 證明：延長BC到D，過點C

作 CE∥BA

⑤ ∠A=∠ACE，∠B=∠ECD

④ ∠A+∠B=∠ACD

③ ∠A+∠B+∠C=∠ACB+∠ACD

② ∠ACB+∠ACD=180€?

① ∠A+∠B+∠C=180€啊?

逆向板書法充分體現了分析法與綜合法的密切關系，其最大的優點是在分析過程結束時，整個證明過程已呈現在人們面前，得到的已是答案，無須另外的綜合過程，也就是說把分析與綜合兩個過程合二為一，講課時采用這一板書法可節省大量時間，且可把這種板書法推廣到其它類型題，如計算題等。堅持使用這種板書法對學生有潛移默化的作用，可極大地提高學生分析問題和解決問題的能力。

有人說：“幾何幾何，想破腦殼”。這話又對又不對。說它對，是因為它多少反映了幾何學習的特點，需要較強的思維能力；說它不對，是因為這種說法有一定的片面性。如果不按思維規律，拿著一個幾何問題，胡思亂想，那當然是要“想破腦殼”。平面幾何證明教學若能解決好以上幾個問題，學生解題時就能按一定思維規律，做到有的放矢，按部就班，而不至于“想破腦殼”。加里寧曾說過：“數學是鍛煉思想的體操”，幾何就是訓練我們思維能力的一個重要陣地。