多圓柱上α次殆β型螺形映射偏差定理的下界估計

摘要本文利用單位多圓柱上次殆型螺形映射的齊次展開式的系數估計以及精確增長定理，得到多圓柱Un上次殆型螺形映射偏差定理的下界估計，并得到特殊情形型螺形映射、 次殆星形映射及星形映射的相關結果。

關鍵詞單位多圓柱 全純映射 次殆 型螺形映射

中圖分類號：O185 文獻標識碼：A

The Distortion Lower Bound of Almost Spiral Like Mappings

of TypeWith Orderon the Polydisk

HU Rong

(Mathematics and Financial Department， Sichuan Academy of Arts and Sciences， Dazhou， Sichuan 635000)

AbstractThis article typewith orderon the polydisk mapping estimate of coefficient of homogeneous expansions and precise growth theorem， results the distortion lower bound of almost spiral like mappings of typewith orderon the polydisk Un， so as the start mapping and its reference results of of typewith orderspiral like mappings.

Key wordspolydisk; almost mapping; spiral like mappings of typewith order

0 引言及預備知識

記X為具有范數||·||的復Banach空間，Un為Cn中單位多圓柱。

定義1①設UX為開集，f : U→Y，若對z∈U，若有線性映射Df(z) :X→Y，使得

則稱f為U上的全純映射，并稱Df(z)為f在點z處的Fr€閏het導數。

定義2設∈[0，1)，，f為單位多圓Un柱上的正規化局部雙全純映射，記g (z) = (Df(z))-1 f(z)若

則稱f為Un上次殆型螺形映射，其全體記為ASr(Un)

分別令 = 0， = 0，及 = 0且 = 0，則相應的映射分別是Un上的型螺形映射、次殆星形映射及星形映射，其全體分別記為Sr(Un)，AS*(Un)，S*(Un)。

2005年，劉太順與劉小松得到了多圓柱上星形映射的偏差定理。②本文將利用次殆型螺形映射的精確增長定理③及次殆型螺形映射的齊次展開式的系數估計，④把注釋②中定理B推廣到單位多圓柱上，得到Un上次殆型螺形映射偏差定理的下界估計，該結論將為進一步完整地研究多復變數次殆型螺形映射的偏差性問題提供重要幫助。

1 一些引理

引理1⑤ 設∈[0，1)，g : Un→Cn是Un上的正規化全純映射，若，z∈Un

其中|zj| = ||z|| = {|zk| }，則

引理2[3] 若，z∈Un有

(1) 當≠時，，其中Ck， = ；

(2) 當 = 時，

2 主要結果及其證明

定理1若，z∈Un則

(1) 當≠時，

其中Ck， = ；

(2) 當 = 時，

證明：令g(z) = (Df(z))-1 f(z) = z + gm(z)， z∈Un

由于z = 0是f (z) - z的k + 1（k∈N）階零點，直接計算可得gm(z) = 0， m = 2，3，…，k

故g(z) = (Df(z))-1 f(z) = z + gm(z)， z∈Un

由可得，

于是，由引理1可得

||gm(z)||≤2(1-)cos||z||m，z∈Un，m = k+1，k+2，…

因此

，z∈Un

另一方面||f (z)|| = ||(Df (z))g(z)||≤||Df (z)||·||g(z)||

由引理2，當≠時

故

當 = 時，

故在定理1中分別令 = 0， = 0，及 = 0且 = 0，得到如下推論。

推論1 若，則

推論2 若則

（1）當≠時，

其中Ck， = ；

（2）當 = 時，

推論3 若f ∈S*k+1（Un），則

特別地，當k = 1時，推論3即為多圓柱上星形映射的偏差定理【2，定理B】。

注釋

①龔昇.多復變數的凸映照與星形映照[M].北京:科學出版社，2003．

②劉小松，劉太順.正規化雙全純映射精細的展開式系數估計[J].中國科學，2005:1-371．

③劉愛超.螺形映射幾個子族的若干性質[D].開封:河南大學，2005:1-33．

④⑤劉小松，劉太順.兩類正規化雙全純映照子族齊次展開式的精細估計[J].數學學報，2007.50（2）：393-400．