淺析求二次函數解析式的四種方法

摘要求二次函數的解析式可以歸納四種方法，分別是三點式方法、配方式方法、雙根式方法、對稱點式方法。我們可以根據已知條件選擇恰當的方法，使二次函數解析式求解過程簡單化，達到迅速解題的目的，并且結合二次函數的相關性質擇優選取適當的解法，提高解題能力。

關鍵詞二次函數 解析式

中圖分類號：O151 文獻標識碼：A

Four Solutions for Solving Quadratic Function Analysis Formula

ZHAO Caizhang

(Beijing Traditional Chinese medical School， Beijing 101101)

AbstractThe methods for solving the quadratic function analysis formula can be summarized as four types， these are: three points method; match formula method; Double radical method; and symmetric points method. We can according to the known condition to select the appropriate method in order to make the solving way simple. And combine the related properties of quadratic function to select a suitable solution so as to improving the ability for solving problems.

Key wordsquadratic function; analysis formula

二次函數在初等數學中的占有重要地位，二次函數的解析式的求解中也蘊涵著一種的數學思想方法。它是在一次函數、反比例函數的基礎上，進一步由數、式、二次方程到二次函數，整個過程貫穿了初中和高中代數。本文就以二次函數中求解析式這一內容提供幾種常見的基本解法，供大家在學習中進行參考。

（1）若已知二次函數圖象上的三個點的坐標時，函數定義為一般式y = ax2 + bx + c(a≠0)，然后把三個點的坐標帶入y = ax2 + bx + c(a≠0)中，解三元一次方程組，求出a，b，c的值，即可求二次函數解析式。我們把這種方法叫三點式方法。

例1：已知二次函數圖象經過A(-1，-10)、B(1，0)、C(3，18)三點，求此二次函數的解析式。

解：設所求拋物線的解析式為y = ax2 + bx + c(a≠0)

依題意得

∴拋物線解析式為y = x2 + 5x - 6(a≠0)

說明：因為函數圖像上存在滿足函數解析式的點的坐標，也可以說函數圖象上的點的坐標一定滿足函數解析式。當二次函數的圖像經過原點時，可以直接設解析式為y = ax2 + bx(a≠0)若二次函數圖像的對稱軸是y軸，則可設解析式為y = ax2 + c(a≠0)

（2）若已知二次函數的頂點坐標或對稱軸或最值時，函數定義為頂點式y = a(x - h)2 + k(a≠0)來求解。我們知道，y = a(x - h)2 + k(a≠0)為配方式方法。

例2：若二次函數圖像的頂點坐標為（-2，3），且過點（2，0），求此二次函數的解析式。

解：設所求解析式為y = ax2 + bx + c，由已知得

∴所求解析式為y = x2 - x + 2

說明：由于頂點式中要確定a、h、k的值，而已知頂點坐標即已知了h、k的值。用配方式方法只要確定a的值就可以求二次函數解析式。

（3）若已知二次函數與x軸的交點坐標是A(x1，0)，B(x2，0)時，可選用y = a(x - m)2 + n(a≠0)定點坐標（m，n）求解。我們稱y = a(x - m)2 + n(a≠0)為雙根式。

例3：已知二次函數圖象經過A(-2，0)、B(1，0)、C(0，2)三點，求此二次函數的解析式。

分析：如果二次函數y = ax2 + bx + c(a≠0)與y軸有交點A(x1，0)，B(x2，0) ，那么顯然有ax21 + bx2 + c = 0

∴x1，x2是一元二次方程的兩個根。因此，有ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)

∴拋物線的解析式為y = a(x - x1)(x - x2)(a≠0)

(其中x1，x2是二次函數圖像與軸交點的橫坐標)

我們將y = a(x - x1)(x - x2)(a≠0)稱為拋物線的兩根式，對于本例利用兩根式來解則更為方便。

解： ∵二次函數圖像與x軸交于A(-2，0)、B(1，0)

∴設二次函數的解析式為y = a(x + 2)(x - 1)(a≠0)

又∵二次函數圖像過C(0，2)，將x = 0，y = 2代入上式，解得a = -1

∴函數解析式為y = -x2 + 1。 說明：這道例題可以用一般式和頂點式來解，將已知三點的坐標分別代入去求a、b、c的值來求此二次函數的解析式。往往忽略A、B兩點的坐標就是二次函數圖象與軸的交點坐標，而用雙根式來求解就相對比較簡單容易。

（4）若已知二次函數與x軸的交點坐標是時A（x1，k），B（x2，k），也就是說，二次函數圖像上是兩個點是對稱點。可選用y = a(x - x1)(x - x2) + k(a≠0)求解。我們稱為設對稱點式y = a(x - m)2 + n(a≠0)。

例4：已知二次函數圖像y = ax2 + bx + c(a≠0)與x軸交于A(2，0)，對稱軸為x = 1，頂點到x軸的距離為2，求二次函數圖象的函數解析式。

解：設所求解析式為y = ax2 + bx + c(a≠0)，由已知得

∴所求解析式為或y = x2 - x-

或y = x2 + x +

總結：一般地，對于求二次函數解析式的問題，可以小結如下：

二次函數的解析式有三種形式：

一般式y = ax2 + bx + c(a≠0)

頂點式y = ax2 + bx + c(a≠0)定點左邊（m，n）

雙根式y = a(x - x1)(x - x2)(a≠0)

參考文獻

[1]易重新.二次函數性質探討[J].科技教育，2008(25).

[2]朱從樸.淺談二次函數在高中階段的應用[J].商情，2009(33).