關于二項式展開式系數最大值的討論

摘要本文主要討論如何求得二項式展開式中哪項的系數最大，從而找到一個便捷的方法或公式。

關鍵詞二項式 系數 最大值

中圖分類號：O151 文獻標識碼：A

Discussion of the Maximum Expansions in the Binomial Coefficient

ZHANG Bin

(Preparatory College of Education College， Hubei Institute For Nationalities， Enshi， Hubei 445000)

AbstractThis article mainly discuss how to seek which item is the maximum expansions in the binomial coefficient， so as to find a convenient method or formula.

Key wordsbinomial; coefficient; maximum

二項式(ax + by)n (n∈N+)的展開式有n+1項，相應的有n+1個系數。下面分兩種情況來討論這n+1個系數的最大值。

1 第一種情形：a＞0且b＞0

系數的最大值可能出現在首項，末項，或是中間的某一項。此時將首項系數，末項系數以及所有中間項系數的最大值逐個進行比較，就可以找出系數的最大值。

①首項T1的系數為an； ②末項Tn+1的系數為bn；

③找出n-1個中間項T2，T3，……Tn系數的最大值：

設第r + 1項的系數最大(r = 1，2，……，n)，則下面的不等式組成立解得：≤r≤

而 -= 1，故不等式組的解是一個自然數或者是兩個相鄰的自然數。下面接著討論解的情況：

若不是整數，則也不是整數，此時不等式組的解只有一個，記為r0 =[ ]，其中[]表示取整。

若是整數，則也是整數，此時不等式組的解有兩個，記為r1 = 或r2 =

當r1 = 時，

即第r1 + 1項和第r2 + 1項系數同時取得最大值；

當r2 = 時，

即第r2項和第r2 + 1項系數同時取得最大值；

又由r2 = r1+1，故可總結為r = 時，第r+1項和第r+2項系數同時取得最大值。

綜上可得：對于n-1個中間項T2，T3，……Tn系數來說，當r =[]時，第[] + 1項的系數最大。

由以上①②③的討論可得出：

(ax + by)n (n∈N+)的最大系數為max {an，bn，Crnan-rbr}，其中r =[]

下面幾個結論是關于(ax + by)n (n∈N+)中系數的增減性與最大值的關系。

結論一：在(ax + by)n的n+1個系數中，若首項系數最大，則此n+1個系數是逐項遞減的。

證明：首項T1的系數為an，若首項系數最大，則有

an≥C1nan-1b，即a≥nb

下證Crnan-rbr＞Cr+1nan-r-1br+1對所有的r = 1，2，……，n-1都成立。即證＞

因為a≥nb，故≥＞

故首項系數最大時，二項式展開式中的系數是逐個嚴格遞減的。

推論一：(ax + by)n中首項系數最大的充要條件是a≥nb

證明：必要性：因為首項系數最大，故有an≥C1nan-1b，所以a≥nb

充分性：因為a≥nb，所以an≥C1nan-1b，同時由結論一的證明可得Tr+1的系數≥Tr+2的系數，其中r = 1，2，……，n-1

故此n+1時個系數是逐項遞減的，所以首項系數最大。

結論二：(ax + by)n在的n+1個系數中，若末項系數最大，則此個系數是逐項遞增的。

證明：末項Tn+1的系數為bn，若末項系數最大，則有

bn≥Cn-1abn-1，即b≥na

下證Crnan-rbr＞Cr+1nan-r-1br+1對所有的r = 1，2，……，n-2都成立。即證＜

因為a≥nb，故≥＞

故末項系數最大時，二項式展開式中的系數是逐個嚴格遞增的。

推論二：(ax + by)n中末項系數最大的充要條件是b≥na

證明：必要性：因為末項系數最大，故有bn≥Cn-1nabn-1，即b≥na

充分性：因為b≥na，所以bn≥Cn-1nabn-1，同時由結論二的證明可得Tr+1的系數≤Tr+2的系數，其中r = 1，2，……，n-2

故此時n+1個系數是逐項遞增的，所以末項系數最大。

結論三：(ax + by)n在的展開式中，若中間項的系數最大，則n+1由個系數組成的數列先增后減。

證明：由以上的討論知，系數的最大值在中間項T2，T3，……Tn的某項，則最大值不在首項和某項。 因首項系數不為最大，根據推論一，故有a＜nb，從而有an＜C1nan-1b，即T1系數＜T2系數；因末項系數不為最大，根據推論二，故有b＜na，從而有bn＜Cn-1nabn-1，即Tn+1系數＜Tn系數；又因為中間項的系數只有一個最大值，故所有的n+1個系數組成的數列先增后減。

2 第二種情形：a＞0且b＜0

要討論(ax + by)n (n∈N+)的n+1個系數的最大值，先考慮二項式(ax + |b|y)n：根據第一種情形：a≥n|b|時，首項系數最大，此時n+1個系數組成遞減數列；|b|≥na時，末項系數最大，此時n+1個系數組成遞增數列；中間項系數最大時，時，相應的項的系數最大，此時n+1個系數組成先增后減數列。

(ax + by)n與(ax + |b|y)n對應項系數的關系為：r為偶數時，對應的奇數項系數相等；r為奇數時，對應的偶數項系數互為相反數。根據第一種情形，故可得下列結論：

①a≥n|b|時，首項系數的絕對值最大，此時首項系數為正，故(ax + by)n展開式中最大系數為首項系數an。

②|b|≥na時，當n為偶數時，末項系數的絕對值最大，且末項系數為正，故此時展開式中最大系數為某項系數bn；當n為奇數時，(ax + by)n展開式中的n+1個系數的絕對值組成遞增數列，又因末項系數為負，倒數第二項Tn的系數為正，故此時系數最大為倒數第二項Tn的系數nabn-1。

③當a，b均不滿足a≥n|b|與|b|≥na時，中間項的系數最大。(ax + |b|y)n展開式的系數最大值位于奇數項時，即為偶數時，(ax + by)n也在相應的項，即第項，系數達到最大值。(ax + |b|y)n展開式的系數最大值位于偶數項時，即為奇數時，(ax+|b|y)n展開式中第r+1項為負，但此時第r項與第r+2項的系數為正，又因為(ax+|b|y)n展開式的系數組成的數列先增后減，故(ax + by)n的系數在第r項或第r+2項達到最大值。此時(ax + by)n的系數最大值為max {Cr-1nan-r+1br-1，Cr+1nan-r-1br+1}，其中。

參考文獻

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[2]龔彥森，魏立國.二項式定理的應用[J].數理天地(高中版)，2006(8).

[3]方厚良，羅燦.二項式定理的應用[J].數學通訊，2004(7).