淺談泛函分析教學法

摘要本文主要討論了在泛函分析課程教學中如何有機地將學習內容與數學分析、高等代數、實變函數等知識結合起來，培養學生的抽象思維能力與邏輯思維能力。

關鍵詞 泛函 公理化方法 Banach空間 Hilbert空間

中圖分類號：G642文獻標志碼：A

Discussion about Functional Analysis Teaching

HUANG Sui

(Department of Mathematics， Chongqing Normal University， Chongqing 401331)

AbstractIn this paper， we discuss about how to contact content of functional analysis with mathematical analysis， advanced algebra， real function knowledge， developing students' abstract thinking ability and logical thinking ability.

Key wordsfunctional; axiomalization; Banach space; Hilbert space

泛函分析是應上世紀量子力學等學科的需要發展起來的一門學科，迄今已經建立了較為完善的理論體系，可以說泛函分析既集了經典分析的大成，又架起了通往現代數學的橋梁，成為解決方程、控制論等其他數學問題的有力工具。泛函分析作為大學本科的一門課程，向數學專業的學生初步展示了數學既抽象又和諧的美。

泛函分析所講的泛函二字從字面意思來解釋就是更為廣泛的一類函數。它不再是我們在數學分析或復分析中所講的從實數到實數、復數到復數的函數，而是可以將任何集合中的點“變成”實數或復數的映射。這樣的集合可以由函數構成（例如連續函數空間、平方可積函數空間），也可以由序列構成（例如有界數列、收斂數列等），因此有人說，泛函分析可以看成是函數空間上的函數論。這門課程是大學本科數學專業叔叔所要學習的最為抽象的課程，不僅大量涉及到了數學分析、實變函數、復變函數、拓撲學的知識，也與高等代數等課程的知識有聯系，并且在一定程度上反映了空間的幾何性質。那么如何在教學中將同學們所學的知識有機地結合起來應用到泛函分析的學習中來？如何由淺入深、由易到難地進行講解，培養學生的抽象邏輯思維能力、分析解決問題的能力？如何在教學中向學生展現數學抽象、和諧的美，使其對數學的認識理解提升到一個新的高度呢？這些都是我們在教學中應該意識到并加以解決的問題。

泛函分析這門課程主要討論了Hilbert空間與Banach空間上算子與泛函的各種性質。我們首先要在一般的集合上建立起各種各樣的結構，例如拓撲結構、線性結構，其中使用了大量公理化方法，將我們再現實生活（一、二、三維空間）中兩點距離的性質抽象出來定義到一般集合上形成度量空間。然后就象在數學分析中所做的一樣，在這樣的空間上利用“距離”定義空間中點的鄰域，點列的收斂、空間上的連續映射（即算子）等，從而研究空間的分析性質，例如空間是否完備化，如果不完備，如何利用類似實數完備化的方法將其完備化。同理我們可以在空間上附加線性結構成為線性空間。接著將距離這一概念抽象成范數，得到泛函分析中討論最多的賦范線性空間。因此在教學中應適當地將數學分析關于距離、數列的收斂、函數的連續性等知識進行復習鞏固，并與泛函分析中的定義作相應的比較，一次向學生展示泛函分析所研究空間的廣泛性。

Hilbert空間的性質及其上算子、泛函的討論是泛函分析研究的主要內容之一。首先我們以學生熟悉的歐氏空間威力討論其具有的性質，例如歐式空間上的內積，標準正交基，其上的變換與矩陣成一一對應關系等。由此如果將內積的性質公理化，以此定義出一般的內積空間；將歐氏空間中的標準正交基進行合理推廣，得到一般內積空間上的規范正交系。這樣我們就得到Hilbert空間的規范正交系，其作用類似于歐氏空間的標準正交基。因此可以看出，Hilbert空間是有限維歐氏空間最自然的一種推廣。Hilbert空間的幾何性質是教學中一個非常有趣的內容。我們知道點到線段或直線的距離是點到線的垂線段的長度，那么如何將這個幾何性質反映到Hilbert空間上，并用抽象的數學語言表述出來呢？這就是極小化向量定理及其一系列推論，其中Hilbert空間的正交分解尤為重要。Hilbert空間上的算、泛函的性質有時怎樣的呢？我們可以利用歐氏空間上的矩陣與之類比。

Banach空間是將Hilbert空間中對內積的要求去掉，剩下范數以后得到的完備賦范空間，這是更大更抽象的一類空間。Banach空間仍具有線性結構和拓撲結構，那么其上的算子、泛函的性質是怎樣的呢？Banach空間上有三個重要定理回答了一個問題。這三個定理是：Hahn-Banach延拓定理、共鳴定理和閉圖像定理。首先Hahn-Banach延拓定理處理的是線性空間上的泛函問題，它要說明的是如果空間上的泛函足夠多，就可以用泛函來區別空間中任意不同的兩點，更進一步，得到分離性定理。其次共鳴定理或一致有界定理的本質是由算子列的逐點有界性得到一致有界性。這與數學（下轉第71頁）（上接第60頁）分析中函數列的逐點有界但未必一致有界是相悖的，因此在教學中要進行適當的對比。

在泛函分析的教學過程中，對定理證明的分析尤為重要。如何將定理的條件與結論有機地結合起來，找到聯系兩者的紐帶，然后找到證明的入口。對例題的講解也應注意同樣的問題，教材中的舉例往往都是非常經典的問題，例如如何證明一個賦范線性空間的完備性，雖然具有一定技巧，但是其方法都是學生在數學分析、實變函數中使用過的一些方法，因此要讓學生作適當練習，理解掌握這些基本方法。對學生思維能力的培養貫穿于整個教學過程中，因此應從多方面出發，難易結合，抽象與直觀聯系，不僅促進學生抽象思維能力的發展，而且也能使其感受到數學的嚴謹的美。

基金項目：重慶師范大學博士啟動基金(No.10XLB041)

參考文獻

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