論數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

摘要“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)發(fā)展中有著極其重要的意義。“數(shù)形結(jié)合”思想在具體數(shù)學(xué)問題解決中同樣起著極其重要的作用，其中有兩種表現(xiàn)方式：以形助數(shù)和以數(shù)解形。

關(guān)鍵詞 數(shù) 形 數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G633.6文獻標志碼：A

The Though of \" Numbers Combined with Graphs\" in Mathematics

DONG Qiangrong

(Yingtan No.4 Middle School， Yingtan， Jiangxi 335001)

AbstractThe though of \" numbers combined with graphs\" in the development of mathematics is very important; The though of \" numbers combined with graphs\"in the form of concrete in mathematical problem solving is also a very important role， there are two ways: take graphs help numbers and take numbers solve graphs.

Key wordsnumber; graph; numbers combined with graphs

新課標指出“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具”，“高中數(shù)學(xué)課程對于認識數(shù)學(xué)與自然界，提高提出問題﹑分析和解決問題的能力，形成理性思維﹑發(fā)展智力和創(chuàng)新意識都具有基礎(chǔ)性作用。”而“數(shù)形結(jié)合”思想的鍛煉正是達到新課標這些要求最有效方式之一。“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)發(fā)展過程和數(shù)學(xué)解題過程中都有著非常重要的意義。

1 在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的意義

數(shù)與形這兩個基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石。學(xué)大體上都是圍繞這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展而展開的。在數(shù)學(xué)發(fā)展的進程中，數(shù)與形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在方法上相互滲透，在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化。

早在數(shù)學(xué)的萌芽時期，人們在度量長度﹑面積和體積的過程中，就把數(shù)與形聯(lián)系起來了。我國宋元時期，系統(tǒng)地引進了幾何問題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾乎特征，把圖形中的幾何關(guān)系表達成代數(shù)式之間的關(guān)系。17世紀上半葉，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（R.Descartes，1596-1650），通過坐標系，建立了數(shù)與形之間的聯(lián)系創(chuàng)立了解析幾何學(xué)后來，何學(xué)中許多長期不得解決的問題，尺規(guī)作圖三大不能問題，最終也都借助于代數(shù)方法，到完滿的解決。

數(shù)與形內(nèi)在聯(lián)系，也使許多代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的課題具有鮮明的直觀性，而且往往由于借用了幾何術(shù)語或運用了與幾何的類比，從而開拓了新的發(fā)展方向。例如，線性代數(shù)正是借用了幾何中的空間、線性等概念與類比方法，把自己充實起來，從而獲得了迅猛的發(fā)展。

正是如此，“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)發(fā)展與數(shù)學(xué)教學(xué)中都有著非常重要的意義。法國數(shù)學(xué)家拉格朗日(J.L.Lagrange，1736-1813)曾指出“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進展都會緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但當兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，以快速的步伐走向完善。”因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視“數(shù)形結(jié)合”思想的鍛煉和應(yīng)用。如高中數(shù)學(xué)課程中解析幾何及平面、空間向量等模塊就是體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”思想的重要載體，對培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和抽象思維起著非常重要的作用。

2 在數(shù)學(xué)解題過程中的作用

“數(shù)形結(jié)合”就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題即通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的思想使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化、抽象問題具體化，從而達到優(yōu)化解題途徑的目的。

2.1 以形助數(shù)

“以形助數(shù)”是數(shù)學(xué)問題解決的重要方法之一，巧妙運用圖形的思想來解決一些抽象的代數(shù)問題，可起到事半功倍的效果。“以形助數(shù)”在數(shù)學(xué)解題過程中有著廣泛的應(yīng)用，如在解方程和解不等式問題、求函數(shù)最值（值域）問題、三角函數(shù)問題、平面解析幾何等各種數(shù)學(xué)問題中都有著充分的應(yīng)用。我們在運用“以形助數(shù)”的思想解題時不僅容易尋找解題途徑，而且還能避免繁雜的計算和推理使解答過程變得更加便捷、精練。

圖1

例1若對于任意x∈R，不等式|x - 1| + |x + 1|＞a恒成立，求實數(shù)a的范圍。

分析：本題可利用絕對值在數(shù)軸上所體現(xiàn)的幾何意義來確定實數(shù)的范圍。本題亦可構(gòu)造分段函數(shù)f (x) = |x - 1| + |x + 1|，通過此函數(shù)的圖象求出其最小值，進而得出實數(shù)的范圍。

例2解不等式： ≥ x

分析：本題可在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y = 與函數(shù)y = x的圖象，設(shè)它們交點為A(如圖1)。由圖易知只要得到點A坐標，則原不等式得解。

例3已知a＞0，b＞0且方程x2 + ax + 2b = 0與方程x2 + 2bx + a = 0都有實根，求a + b的最小值。

分析：由已知可得關(guān)于a，b的不等式

則P（a，b）在拋物線a2 = 8b與b2 = a的外部且位于第一象限陰影部分（如圖2），由線性規(guī)劃思想可知：當P為兩拋物線在第一象限的交點A（4，2）時，取得最小值6。

圖2圖3

2.2 以數(shù)解形

“以數(shù)解形”思想在近幾年高考中得到了加強和應(yīng)用，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)以予重視。新課標中增加的內(nèi)容“空間向量”有關(guān)知識即是用代數(shù)知識解決幾何圖形問題思想的充分體現(xiàn)。“以數(shù)解形”的思想在平面幾何中也有著廣泛的應(yīng)用。

例4四邊形ABCD，EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED、AC中點 (如圖3)，求：

（1）PM與FQ所成角。

（2）P到平面EFB的距離。

（3）異面直線PM與FQ距離。

分析：本題可建立空間直角坐標系，利用空間向量知識來解決是非常便捷的方法。從而把所有空間幾何有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決。

例5已知平面內(nèi)并列的三個相同正方形(如圖4)，

求證：∠1+∠2+∠3 =

分析：本題可轉(zhuǎn)化為∠2+∠3 = ，因為0＜∠2+∠3＜，所以本題可轉(zhuǎn)化為tan（∠2+∠3） = tan = 1，由已知可得tan∠2 = ，tan∠3 = ，則由和角正切公式易知tan（∠2+∠3） = 1即得證。

例6證明：三角形三條高線交于一點。

分析：以BC為x軸，邊BC的高OA為y軸，建立直角坐標系 (如圖5)，

設(shè)

而，即

又，

，

所以，

圖4

圖5

即，得證。

參考文獻

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