算子族的遍歷鏡像收斂推導

摘要現代分析學中，運用算子族的點態收斂性導出了Lebesgue微分定理。起支撐作用的遍歷定理有Birklhoff-Khinchin點態遍歷定理、von Neumann平均遍歷定理、Wiener控制遍歷定理。本文深入運用算子族的收斂性導出新結論，擬命名為遍歷鏡像收斂定理。本質上，鏡像遍歷定理一方面將上述三大遍歷定理進行綜合與拓展，另一方面揭示了遍歷算子族的反演收斂特性，使得算子族的收斂性使用范圍更廣更深。

關鍵詞 算子族收斂性 遍歷鏡像收斂定理 Hardy-Littlewood極大算子

中圖分類號：O17文獻標志碼：A

Operator Families Through Images Derived Convergence

TENG Yuanjiang

(Hu'nan Institute of Engineering， Xiangtan， Hu'nan 411101)

AbstractIn modern analytical science， the use of the pointwise operator family derived Lebesgue convergence theorem of differential. Play a supportive role with Birklhoff-Khinchin ergodic theorem pointwise ergodic theorem， von Neumann mean ergodic theorem， Wiener control ergodic theorem. This in-depth use of operators to derive new convergence family of conclusions to be named through the mirror convergence theorem. In essence， the mirror through one of the above three theorems Ergodic Theorem comprehensive and expand on the other hand reveals the family through the inversion operator convergence， which makes the convergence of the operator family use broader and deeper.

Key wordsoperator families convergence; the mirror convergence theorem; Hardy-Littlewood; maximal operator

1 算子的收斂性定理

設{T}(＞0)是將Lp(Rn)，p∈[1，∞)映入Rn上的可測函數空間的線性算子族。

如果：（i）對所有的p∈[1，∞)，極大算子T*是弱(p，p)型算子；（ii）存在某個q∈[1，∞)，以及Lq(Rn)的某稠密子集D，使得對任一g∈D，有Tg(x) a.e存在且有限。

那么下面的結論成立：

① 對p∈(1，∞)，T*是(p，p)型算子；

② 對p∈[1，∞)，及f ∈Lp(Rn)，Tg(x) a.e存在且有限；

③ 對p∈[1，∞)，及f ∈Lp(Rn)，|| Tf - Tf ||p = 0，這里算子族的極限由②所確定；

④T是(p，p)型及弱(1，1)型的。

［注］（1）如果極大T*算子是弱(1，1)型或（∞，∞）型且滿足條件（ii），那么算子的收斂性定理仍然成立。

（2）條件（ii）中將“→0”改為“→∞”那么算子的收斂性定理中的結論仍然全部成立，只需相應地將結論中的“→0”改為“→∞”。

2 遍歷鏡像收斂定理

設{Tr}r＞0是遍歷算子族，那么有如下結論：

① 對1＜p＜∞，T*是(p，p)型算子；

② 對1≤p＜∞及f ∈Lp(X，)， a.e存在且有限。

③ 對1＜p＜∞及f ∈Lp(X，)， || Trf - Tf ||p = 0，此處算子族的極限由②確定；

④ T是(p，p)型及弱(1，1)型的。

證明：為確證結論①～④，只需證實下面兩個事實：

Ⅰ.算子族{Tr}r＞0的極大算子T*是弱(1，1)型和（∞，∞）型的；

Ⅱ.存在L2(X，)的稠密子集D，使得對任意g∈D有：

a.e存在且有限。

先說明事實Ⅰ.由T*的定義即知T*是（∞，∞）型算子，且||T*||(∞，∞)≤1。下面說明T*是弱(1，1)型的。對N＞0，令 f (x) =|Trf (x)|，那么對x∈X， f↑T*f (N→∞)由分布函數的基本性質知。這里g(a)({x∈X:|g(x)|＞})，＞0為g在(X，)中的分布函數。因此只需證明：存在常數C＞0使得對任意的，N＞0有

（1）

記(x)為集{x∈X:|g(x)|＞}的特征函數，那么（1）可寫為

(x)d(x)≤ |f (x)|d(x)（2）

令x(s) = (sx)，則對任意固定的x∈X，記x(s)是集{s:f(sx) ＞}的特征函數，記MNf (s) = |f (s - t)|dt，則MNf (s)↑M f (s)。這里M為Hardy-Littlewood極大算子，對于0≤s≤N，

(f)x (s)≤MN() (s)≤M() (s)

記集合{s:MN() (s)＞}的特征函數為x(s)，那么

x(s)ds≤x(s)ds =

由于M是弱(1，1)型算子，取C = 2A，則可得到

（下轉第178頁）（上接第145頁）

（3）

注意到（3）對任意x∈X成立，則有

(x(s)ds)d(x)≤(|fx(s)|ds)d(x)

應用Fubini定理并由等可積性得到

(x)d(x)≤|f (x)|d(x)

此即為（2）（取C = 2A）

下面證明結論Ⅱ。我們考慮L2(X，)中兩類函數：

= {∈L2(X，)}: (tx) = (x) a.e.x∈X，t∈R

= {∈L2(X，)}:∈L2(X，)∩L∞(X，)

及s∈R使得(x) = (x) - (sx) }

例如∈及r＞0，有

Tr(x) = (tx)dt = (x)dt = (x)

因此Tr(x) = (x)，∈

類似也有Tr(x) = 0，∈

事實上，記(x) = (x) - (sx)，并取C≥||||∞，那么對r＞0

Tr(x) = ( (x) - (sx))dt

= x(t)dt - x(t + s)dt

= x(t)dt -x(t)dt

= x(t)dt -x(t)dt

這樣|Tr(x)|≤2Cs/r，因此Tr(x) = 0。

現記D = {g∈L2(X，):g =+ ，∈且∈}。

由上面的討論，余下僅需說明D在L2(X，)中稠密。先證明 = ⊥。⊥是顯然的，反之，設h∈⊥且{hk}L2(X，)∩L∞(X，)，使得||hk - h||→0。對任意的s∈R，令 = hk - hks，這里hks(x) = hk(sx)，因此∈，且當k→∞時有：

0 = 〈h，hk - hks〉 = h(x) d(x)

→h(x)d(x) = 〈h，h - hs〉

因此

||h - hs||22 = 〈h，h〉 - 〈hs， hs〉 + 〈h，h - hs〉 - 〈hs，h - hs〉 = -〈hs，h - hs〉

注意到

〈hs，h - hs〉 = h(sx)d(x)

= h(x)d(x) = 〈h， h-s - h〉= 0

因此對任意的s，有||h - hs||22= 0。從而對于每個s，hs= ha.e成立。故⊥。這樣是L2(X，)中的閉子空間，從而L2(X，) =。因此對任一f ∈L2(X，)，存在唯一的g∈及h∈⊥ ，使得f = g+ h。由于⊥= (⊥)⊥，故

〈h，〉 = 0 ， ⊥（4）

（4）表明，或者h∈，或者h是中點列的極限。這樣D在L2(X，)中稠密。于是，定理遍歷鏡像收斂定理得證。

參考文獻

[1]陸善鎮，王昆侖著.實分析(第二版)[M].北京師范大學出版社，2006.

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[3]鄧東皋，韓永生著.空間論[M].北京大學出版社，1992.

[4]E.M.Stein.Singular Analysis：Real Variable Method，Orthogonality，and Oscillatory Integrals.Princeton Univ.Press，Princeton.1993.