淺談高等數學習題課對學生思維能力的培養

摘要本文闡述了高等數學習題課的地位和作用，并且介紹了習題課教學的基本步驟，指出如何利用習題課更好的培養學生的思維能力，幫助剛入門的大學生消化并鞏固所學的知識。

關鍵詞 高等數學 習題課 思維能力

中圖分類號：G642.41 文獻標識碼：A

On Developing Thinking Abilities of Students in the

Advanced Mathematics Exercises Class

GAO Wen

(College of Science， Northwest Agriculture Forestry University， Yangling， Shaanxi 712100)

AbstractThis paper describes the advanced mathematics recitation of the position and role， and describes the basic steps of teaching exercises， how to use the exercise class that better thinking ability of students to help students digest and consolidate the knowledge learned.

Key wordsadvanced mathematics; exercises class; thinking ability

高等數學是教育部指定的工科類各專業基礎課課程之一，高等數學既要傳授知識，又要培養能力。通過這門課程的學習，不僅要求學生掌握基本的知識和理論，更深一層的意義是將這門課程中學到的思想方法應用到后繼課程以及將來的工作中。面對日益壓縮的課時，怎樣利用有限的習題課授課時間最大化的培養學生的思維能力，是擺在我們廣大高等數學教師面前一個現實而嚴峻的問題。本文將從以下幾個方面探討高等數學習題課教學對學生思維能力的培養。

1 利用習題課教學鞏固對基本概念和理論的理解

高等數學這門課程是一門純理論性的、以抽象思維為主的基礎學科。為了讓學生能夠更好的掌握基本概念和基本理論，通常都會開設習題課作為教學環節的一部分。因此，習題課的設計對教學的鞏固作用起到了至關重要的作用。眾所周知，高等數學這門課程抽象、理論性強，主要體現在它包含了大量的概念和定理，這些知識是抽象與概括的結果。通過開設習題課這一環節，教師不僅要向學生傳授這些基本知識，更要向他們傳授抽象、概括的思維方法，讓學生學會思考，能夠從具體內容中抽象概括，掌握這些概念，定理最核心的關鍵。

2 利用習題課教學培養學生的正向思維和逆向思維能力

著名心理學家吉霍米諾夫說：“在心理中，思維被看作是解題活動。”雖然思維并不對等于解題過程，但有理由斷言，形成思維最有效的辦法是通過解題來實現的。在習題課教學過程中，教師應當鼓勵學生勇于探索，向封閉的傳統思維模式挑戰，變被動學習為主動進取。常規的思維模式是“由因導果”，這種思維方式稱為正向思維。反之，從相反方向思考問題的方式就稱為逆向思維，也就是“由果索因”。實踐表明，對于科技工作者而言，這種逆向思維對問題的研究是必不可少的。對于工科學生而言，我們更有必要培養好學生的正向和逆向思維能力，為以后的工作學習打下良好的基礎。

舉例而言，講授一元函數導數與微分的概念時，我們通常會講導數的定義本身就給出了求導數的方法，這是一種構造性的定義。而講微分的定義時，我們僅給出微分的形式，并沒有指出微分的求法。所以，判別一個一元函數是否可微，以及可微的充要條件就是師生需要共同面對的一個問題。為了幫助學生理解微分這個概念，我們可以如下思考：先假定函數可微，然后由定義中的等式入手，考慮它是否與先前已知的某個概念形式有聯系，從而通過整理，變形推導出相應的結論。由此得到的結論恰好是判斷函數是否可微的必要條件，這一結論就可以作為判斷函數可微的準則。這種考慮問題的思維方式就稱為逆向思維。那么如何能得到函數可微的充分條件呢？如果必要條件能夠作為可微的充分條件，則該條件成為充要條件。如果不能，我們需要對條件做哪種補充和限制使得能夠推出可微性，進而得到函數可微的充分條件。我們有理由讓學生認識到證明過程中的一些附加條件通常是在分析問題的過程中通過查漏得到的，這也是我們得到新結論的一種方法。

3 利用習題課教學提高學生的分析與綜合能力

分析與綜合能力是高等數學學習過程中逐漸培養起來的一種基本思維能力。對一些定理和習題的證明或者一些較為復雜的問題，要把分析和綜合的過程有機的結合起來，即先從“未知”入手找到解決問題的辦法靠攏到“已知”，再用綜合法加以敘述，即由“已知”入手逐步推倒到“未知”。

比如利用有關輔助函數的建立來解決問題，就是一個結合分析與綜合能力的很好例子。考慮下面這個問題：設函數f (x)，g (x) 在[ a ， b ] 上連續，在(a， b) 內可導，且f (a) = f (b) = 0，證明至少存在一點 ∈(a， b)，使f′() + f () g′() = 0。首先我們分析，把結論中的用x來代替，結論就變為（下轉第53頁）（上接第41頁）f′(x) + f (x) g′(x) = 0即

f′( x)f ( x)= - g′( x )，兩邊積分可得ln f ( x) = - g ( x) + ln C ，進而f ( x) exp （g ( x)）= C。通過這個過程我們可設想輔助函數為F( x) = f ( x) exp （g ( x)），接下來我們就可以把這個輔助函數代入到問題當中，驗證它確實滿足羅爾定理的條件，完成問題的證明。

4 利用習題課教學培養學生的發散思維能力

發散性思維，又稱輻射思維、擴散思維或求異思維，是一種不依常規、從多方面思索答案的思維方式，它表現為思維視野廣闊，思維呈現出多維發散狀。利用習題課教學對學生發散性思維的培養應當體現在以下幾個方面：（1）在求解問題前首先幫助學生深入的思考問題，引導學生從多角度探求問題的原因，盡可能給出多種解法，從而充分調動學生積極思考的習慣，通過比較找出最恰當的解決方法。（2）在習題課的設計上，應當盡量選取有代表性的例題，通過學生的多練和教師的講授盡可能從多方面多角度分析例題的解題方法和思路。一題多變，一題多解是培養學生發散思維能力的重要途徑，也是幫助學生鞏固理解所學知識的重要方法。

5 結束語

目前，高等教育的普及率已經大幅提高，保證教學質量對于學生，學校而言都是目前迫切需要面對的問題。生源質量的參差不齊使得我們必須積極探索教學方法，教學工具等方面的改革。在教學實踐中，我們應當有機地將先進的教學工具和習題課教學結合起來，以便最大化提高教學質量，培養高素質人才。

參考文獻

[1]錢昌本.高等數學解題過程的分析和研究[M].北京:科學出版社，1994.

[2]同濟大學.高等數學第六版[S].北京:高等教育出版社，2007.