幾種特殊情形函數值域的求法

摘要求函數的值域是高中數學的重點學習內容，也是近幾年高考考查的重點內容之一。其方法靈活多樣，綜合性強，是高中學生學習的難點之一。

關鍵詞 函數 值域 求法

中圖分類號：O174 文獻標志碼：A

Methods of Several Special Case of the Function Range

ZHANG Xiaoling

(Hu'nan Baojing National School， Xiangxi， Hu'nan 416500)

AbstractDemand function of the range is the focus of high school mathematics learning content， but also one of the key point in college entrance test in recent years. The method is flexible， comprehensive， it's one of the difficulties for high school students to learn.

Key wordsfunction; range; method

函數值域和最值的常用求法有：直接法、配方法、反函數法、判別式法、換元法、數形結合法、均值不等式法、單調性法和導數法等。而分式型函數的值域，（特別是二次分式函數）一直是高考的重點、熱點。數形結合的思想滲透在學習的每一個角落，要求較高，學生很難靈活運用。而兩者已成為高考的一個新視。本文討論幾種特殊情形函數的值域的求法。

1 換元法

對于解析式中含有根式或者函數解析式較復雜的這類函數，可以考慮通過換元的方法將原函數轉化為簡單的熟悉的基本函數。當根式里是一次式時，用代數換元法。如：求函數y = x - 2的值域 (換元后新元的取值范圍是解題的關鍵）。當根式里是二次式時，形如y = ax + b + c (cd≠0)用三角換元。

例1．求函數y = x + 的值域。

解析：由y = x += x + ，

令x - 5 =cos，

因為

2 - (x - 5)2≥02 - 2cos2≥0-1≤cos≤1，∈[0，]，

則= cos，

于是：y = sin + cos + 5 = 2sin( + ) + 5，

+ ∈[，]，

-≤ sin( + )≤1，所以：5 - ≤y≤7。

點評：解題時先利用配方法，對根式恒等變形成或者的形式。然后利用三角代換，將原無理函數轉化為三角函數，再利用三角函數的有界性使問題獲解。一般地，當變量的取值范圍是時[-1，1]，用正弦或余弦代換。

2 分式型函數

對于形如y = (a，c不同為0)的函數的值域，可用反比例函數法（分離常數法），也可利用某些函數有界性求得原函數的值域。

對于形如y = （a、d不同時為0）的函數的值域，可用判別式法（定義域為R）；也可以變形為y = x + (x ≠0)的形式，首先可考慮基本不等式法求解(一正、二定、三等)，然后可考慮利用雙曲函數法y = x + (k＞0)，或者利用函數y = x + (k＜0)的單調性求解。

例2．求函數y = 在區間x∈[，4]的值域。

解析：由y = ，得y = x ++ 2，

當≤x≤2時，函數y = x ++ 2是單調減函數，所以6≤y≤18；

當2≤x≤4時，函數y = x ++ 2是單調增函數，所以6≤y≤7。

所以函數在區間x∈[，4]的值域是6≤y≤18。

點評： 形如y = x +(a＞0)型的函數，稱為雙曲函數，易知在(0，]上單調遞減，在[， +∞)上單調遞增，在[-，0)上單調遞減，在(-∞，-]上單調遞增。

3 數形結合法

當函數解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點間距離，直線的斜率、截距等）或當一個函數的圖象易于作出時，借助幾何圖形的直觀性可求出其值域。

例3： 求函數y =+ 的值域。

（下轉第215頁）（上接第122頁）

解析：令u =，v = ，

則u≥0，v≥0，，u + v = y，

原問題轉化為 ：當直線u + v = y與圓在直角坐標系uov的第一象限有公共點時，求直線的截距的取值范圍。

由上圖知：當u + v = y經過點(0，)時，y min = ；

當直線與圓相切時，y max = OD = OC = ()2 = 2。

所以：值域為≤y≤2。

求函數的值域方法很多，根據自己的教學經驗和學生的難點，總結了以上幾種，以供大家參考。