如何解含參數的函數綜合題

摘要解綜合題首先要有宏觀思路，即解題的大體步驟，然后就是細，即每步

運算與相互間的邏輯關系，文章通過幾個例子來闡述分析解題思路與過程。

關鍵詞 參數 函數 求導 不等式

中圖分類號：G633.6文獻標志碼：A

How to Solve Function Integrated Problems with Parameters

——Thought of Solving Problems for Some Examples in College Entrance

Examination

DING Jianming

(Southwest Guizhou Vocational and Technical College， Xingyi， Guizhou 5

62400)

AbstractComprehensive solution must first have the macro problem thi

nking， the general problem-solving steps， then that is fine， that ever

y step of computing and the logical relationship between each other，

try to use the following examples to illustrate the analysis of proble

m-solving ideas and process.

Key wordsparameter; function; derivation; inequality

近幾年全國高考數學綜合題中，考導數的應用題大多數都是以含參數的函數題為

題型，主要考查學生對導數知識的掌握情況和綜合應用能力，以及對分類討論的

數學思想的把握。對這類題型的解答大體思路基本上是確定的，即：（1）求導；

（2）解出含參數的方程或不等式；（3）引入新函數并對新函數求導應用；（4）

分類討論，最后綜合得出解答。步驟的順序要根據題目的條件而定，下面通過舉

例強調這四大步驟的應用方法。

例1、已知函數f (x) = (x + 1)x - x + 1，若x f '(x)≤x2 + ax + 1，求a的取

值范圍。（2010年普通高等學校招生全國統一考試卷一第20題）

解答步驟分析：

（1）已知中有f '(x)，求f '(x) =+ x - 1 =x + ，將f '(x) =x + 代入

x f '(x)≤x2 + ax + 1，得x ( x + )≤x2 + ax + 1 。

（2）接著解出a的不等式得a≥ x - x。

（3）引入新函數h (x) =x - x，求出h'(x) =- 1，當0＜x＜1時，h'(x)＞0

；當x≥1時，h'(x)≤0；x = 1是h (x)的最大值點，所以，a≥h(1)。 = -1≥h(

x)。綜上，a的取值范圍是[-1，+∞)。

特別注意的是，此題容易解出含a的不等式a≥ x - x。如果a≥ x - x成立，將問

題轉化為求h (x) =x - x的最大值，如果a≤ x - x成立，就轉化為求h (x) =

x - x的最小值，注意不等號的方向與求函數最大(小)值的關系。當我們要考慮

x的取值時，別忘了函數的定義域，如此題的定義域是x＞0。

例2、設函數f (x) = 1 - e-x

（Ⅰ）證明：當x＞-1時，f (x)≥

（Ⅱ）設當x≥0時，f (x)≤，求a的取值范圍。（2010年普通高等學校招生全國

統一考試卷二第22題）

解答步驟分析：只分析第（Ⅱ）問。

（1）如果先將f (x) = 1 - e-x代入f (x)≤得1 - e-x≤，若接著解出a，我們發

現得到的式子是比較復雜的，這時就不用直接解a出的方法。

（2）用分類討論思想化為函數不等式。首先由題設x≥0，此時f (x)≥0。當a＜

0時，若x＞-，則＜0，f (x)≤不成立；當a≥0時，由f (x)≤化得axf (x) + f

(x) - x≤0。

（3）引入新函數h (x) = axf (x) + f (x) - x≤0，問題轉為求h (x)的最大值

。求最大值自然聯想到導數的應用，h'(x) = af (x) + axf '(x) + f '(x) - 1

= af (x) - axf (x) + ax - f (x)。

（4）再用分類討論思想，①0≤a≤由（Ⅰ）知x≤(x+ 1)f (x)，h'(x)≤af (x)

- axf (x) + a(x + 1)f (x) - f (x) = (2a - 1)f (x)≤0。h(x)在[0，+∞)是

減函數，h(x)≤h(0) = 0，即f (x)≤。

②當a＞時，由（Ⅰ）知，x≥f (x)，

h'(x) = af (x) - axf (x) + ax - f (x) ≥ af (x) - ax f (x) + af (x) -

f (x) = (2a - 1 - ax)f (x)，

當0＜x＜時，h'(x)＞0，所以，h (x)＞h (0)，即f (x)＞

故，a的取值范圍是[0，]。（下轉第202頁）（上接第188頁）

例2的難度比較例1有所提升，體現在①把f (x)≤化為有效可利用的不等式時，不

是直接解出a的不等式，這樣能考出學生的綜合應變能力。②分類討論時要充分利

用條件（Ⅰ），解這樣的題思維要寬廣，應用要靈活多變。

例3、已知函數f (x) = x3 + 3ax2 + (3 - 6a)x + 12a - 4，（a∈R）

（Ⅰ）證明：曲線y = f (x)在x = 0處的切線過點（2，2）。

（Ⅱ）若f (x)在x = x0處取得極小值，x0∈（1，3）。求a的取值范圍。（2011年

普通高等學校招生全國統一考試文科卷第21題）

解題分析：（Ⅰ）問中的條件是曲線在某點的切線過點，顯然求導、寫出切線方

程、驗證點易得。（Ⅱ）由極小值的條件求f '(x) = x2 + 2ax + 1 - 2a = 0。

⊿= a2 + 2a - 1，接著就是分類討論，注意到x0∈（1，3），所以，①當- - 1≤

a≤ -1時，f (x)沒有極小值。②當a＞ - 1或a＜- - 1時，由f '(x) = 0求得兩

根x1 = - a - ，x2 = - a + 。考慮到x0∈（1，3），故x0 = x2。所以1＜- a +

＜3。當a＞ - 1時，不等式1＜- a + ＜3無解。當a＜- - 1時，解不等式1＜-

a + ＜3，得- ＜a＜- - 1 。綜合得a的取值范圍是(- ，- - 1)。通過這幾例分析

看出，對含參數的函數綜合題的解答，要求對求導、導數的應用、分類討論、解

不等式要熟練掌握，要注意函數的定義域，要充分利用已知條件，思維要寬中有

細，解題要善于總結方法和技巧。