數形結合與初中數學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1008-925X(2011)06-0105-01

隨著新課程改革全面展開，各門課程的教材都發生著巨大的改變。面對改頭換面的數學新教材，我們發現章節順序改變了，知識點重新整合了，書也變漂亮了，圖形變多了。

以前的數學課程被分為“代數”和“幾何”兩本教材來講授，而現在合二為一，且教學中幾何圖形所占的比重有所增加。“代數”主要研究數據的計算與處理，“幾何”主要研究圖形的位置、大小等特性，“數”和“形”是數學研究的兩個側面，它們相互滲透，互相轉化，由數思形，以形思數，使得以代數法研究幾何，以幾何法研究代數成為可能。“數形結合”是初中數學的重要思想之一，也是學好數學的關鍵之一。若能把“數”與“形”很好的結合起來，那么一些看似復雜的問題會迎刃而解。掌握了此方法也會使解題手段從“單一”走向“靈活”，體會到數學之美，從而感嘆數學之精妙。

數學家華羅庚說得好：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”數學知識的教學有兩條線：一條是明線，即數學知識；一條是暗線，即數學思想方法。九年義務教育初中《數學教學大綱》把數學的精髓-數學思想方法納入了基礎知識的范疇，這是加強數學素質教育的一項創舉。數學思想方法即是數學的基礎知識，是知識的精髓，又是將知識轉化為能力的橋梁，用好了就是能力。因此我們數學老師在教學中要注重數學思想方法的滲透、概括和總結，要重視數學思想方法在解題中的指導作用。數形結合的思想方法是初中數學中的一種重要的思想方法。數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的科學，數和形是數學知識體系中兩大基礎概念，把刻畫數量關系的數和具體直觀的圖形有機結合，將抽象思維與形象思維有機結合，根據研討問題的需要，把數量關系的比較轉化為圖形性質或其位置關系的討論，或把圖形間的待定關系轉化為相關元素的數量計算，即數與形的靈活轉換、相互作用，進而探求問題的解答，就是數形結合的思想方法。數形結合的思想方法能揚數之長，取形之優，使得“數量關系”與“空間形式”珠聯壁合，相映生輝。

本文就初中數學中如何滲透與應用數形結合的思想方法談談個人的體會。

1 有理數內容體現的數形結合思想

數軸的引入是有理數內容體現數形結合思想的力量源泉。由于對每一個有理數，數軸上都有唯一確定的點與它對應，因此，兩個有理數大小的比較，是通過這兩個有理數在數軸上的對應點的位置關系進行的，實數的大小比較也是如此。相反數、絕對值概念則是通過相應的數軸上的點與原點的位置關系來刻畫的。盡管我們學習的是有理數，但要時刻牢記它的形，即數軸上的點，通過滲透數形結合的思想方法，幫助初一學生正確理解有理數的性質及其運算法則。相關內容的中考試題，應用數形結合的思想可順利得以解決。

例1、根據a、b、c在數軸上的對應化簡｜c｜-｜a+b｜+｜a-c｜+｜b+c｜

2 應用題內容隱含的數形結合思想

列方程解應用題的難點是如何根據題意尋找等量關系布列方程，要突破這一難點，往往就是要根據題意畫出相應的示意圖，這里隱含著數形結合的思想方法。例如，九年義務教育教材《代數》第一冊（上）的“4.4一元一次方程的應用”內容中的例3（行程問題）、例4（追擊問題）、例5（勞動力調配問題）、例6（工程問題）、例7（濃度問題），教學中，教師必須滲透數形結合的思想方法，依據題意畫出相應的示意圖，才能幫助初一學生迅速找出等量關系列出方程，從而突破難點。

3 不等式內容蘊藏著數形結合思想

九年義務教育《代數》第一冊（下）第六章內容是“一元一次不等式和一元一次不等式組”，教學時，為了加深初一學生對不等式解集的理解，老師要適時地把不等式的解集在數軸上直觀地表示出來，使學生形象地看到，不等式有無限多個解。這里蘊藏著數形結合的思想方法。在數軸上表示數是數形結合思想的具體體現，而在數軸上表示數集，則比在數軸上表示數又前進了一步。確定一元一次不等式組的解集時，利用數軸更為有效。相關內容的中考試題，也著重考察學生對數形結合思想方法的應用。

4 函數及其圖象內容凸顯了數形結合思想

函數是初中數學的重要內容之一，也是學習的一個難點。同時又是“數形結合”的思想方法體現得最充分的一個章節。平面直角坐標系把“點”和“數”對應起來，使抽象的“數”與直觀的“形”有了統一。開創了研究數學問題的新途徑。而二次函數中拋物線和開口、對稱軸、頂點與坐標軸交點更是與系數a、b、c關系密切。

初三教材中增加了新的一節內容《鑲嵌》，看似幾何圖形的拼接問題，但是它的基礎卻是計算。由一種正多邊形的內角和是否360的約數，否則不能鑲嵌。而當兩種或三種不同的正多邊形鑲嵌時，由于不同圖形的內角的不同以及數量比的可變性，計算就更不可少，如兩種正多邊形鑲嵌時，需要計算若干個兩種不同的內角能否湊成360度，而三種正多邊形鑲嵌時，需計算是否符合是正多邊形的邊數。有了計算為基礎，我們才能通過畫圖或拼圖得到美麗的鑲嵌圖案。而且同一個計算結果，由于不同正多邊形的位置不同，得到的圖案可不一定相同。

“數以形而直觀，形以數而入微”，我國數學家華羅庚對數形結合思想的精辟論述。數形結合的思想，是通過數形間的對應與互助來研究并解決問題的思想，是最基本的數學思想之一，應用范圍較為廣泛。深刻理解這一觀點，有利于提高我們發現問題、分析問題和解決問題的能力。教師應著重培養數形結合思想，強化學生數形兩意識的滲透和能力培養，以提高數學素質。

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