高中數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1008-925X(2011)06-0085-02

摘要：逆向思維是數(shù)學(xué)思維的一個重要組成部分，是進行思維訓(xùn)練的載體。加強從正向思維轉(zhuǎn)向逆向思維的培養(yǎng)，能有效地提高學(xué)生思維能力和創(chuàng)新意識。本文以概念、公式逆用、逆定理等教學(xué)及習(xí)題中的逆向變式訓(xùn)練等方面闡述了如何加強學(xué)生數(shù)學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高中 數(shù)學(xué)教學(xué) 逆向思維 培養(yǎng)

逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維。它是數(shù)學(xué)思維的一個重要原則，是創(chuàng)造思維的一個組成部分，也是進行思維訓(xùn)練的載體，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維過程也是培養(yǎng)學(xué)生思維敏捷性的過程。傳統(tǒng)教學(xué)思維已不合時宜。由于傳統(tǒng)教學(xué)的方式方法的原因，也有教材本身的限制，學(xué)生常采用綜合思維的方法。即從已知出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)的知識步步揄和演算，最后完成解題，這樣的解題思維形式是數(shù)學(xué)的最基本思維形式，也是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)思想方法，但這種思維形式本身就有它的局限性，如果一成不變地使用這種模式來引導(dǎo)我們的學(xué)生，必然會限制學(xué)生的思維，使思維呆板或受阻，缺乏靈活性和創(chuàng)新能力，也很容易讓學(xué)生誤入歧途，或多走彎路，或陷入窘境。因為使用這種思維方法，由已知可聯(lián)系定理、公理等一般不是唯一的（特別是對較為復(fù)雜的綜合性題目），由此摸索出來的解題路徑也不是唯一的。因此學(xué)生往往會無所適從，不知從哪兒下手，于是有許多學(xué)生反映出這么一種現(xiàn)象；書本知識能夠過關(guān)，卻又不會解題。

逆向思維方法探索。古代有司馬光幼年砸缸破水救小孩的故事，他為什么能取得成功，或者說司馬光聰明在何處呢？就在于他的思維方法獨特，即緊緊抓住了使水離開人這個問題的中心，用石頭破缸。

如果學(xué)生有逆向思維的能力，從問題的反面去剖析、理解、應(yīng)用、推理、設(shè)想，他就能克服思維定勢的弊端，就容易找到解題的突破口，尋找到解題方法和恰當路徑，使解題過程簡潔明了，新穎，或許會創(chuàng)造出更新更好的方法，從而提高學(xué)生的辯證思維能力。因此培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，應(yīng)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中不容忽視的一項教學(xué)任務(wù)。本文擬議談我的具體做法。

1 加強概念中“互為”關(guān)系的理解訓(xùn)練

數(shù)學(xué)概念、定義總是雙向，相互的，我們在平時的教學(xué)中會遇到許多“互為”關(guān)系的概念：如“互為反函數(shù)”、“相互獨立”、“互為逆定理”等等，讓學(xué)生從上述這些概念的正反兩面去思考，透徹理解它們是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，幫助學(xué)生建立雙向思維的好機會。

例1，利用指數(shù)函數(shù)Y=a 來引出它的反函數(shù)對數(shù)的概念Y=Logx這樣能夠加深學(xué)生對這兩個函數(shù)的定域義，值域以及圖象之間的聯(lián)系以及它們性質(zhì)的理解。

利2，若干門同一門大炮同時對某一目標射擊一次。已知每一門大炮射擊一次擊中目標的概率是0.3。那么要多少門這樣的大炮同時射擊一次，才能使被擊中的概率超過95％。

分析：如果從正面求擊中的概率計算比較困難，那么從反面先求擊不中的概率就容易了

解：每一門大炮射擊一次擊中目標的概率是0.3，則每一門大炮射擊一次擊不中目標的概率是0.7

應(yīng)有 1-0.7 >0.95 解得 ：n>8.4

2 加強公式逆向應(yīng)用的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)中的公式都具有雙向性。正向運用它們的同時，加強公式的逆向應(yīng)用訓(xùn)練，不僅可以加深學(xué)生對公式的理解的掌握，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用公式的能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生的雙向思維能力。

例如：設(shè)abcd均為實數(shù)，且ad－bc=1，a ＋b ＋c +d -ab＋cd＝l，求abcd的值。

分析由第二個等式聯(lián)想道用完全平方公式．由已知得 a ＋b ＋c +d -2ab+2cd+2bc-2da=0，即：

（a－b） ＋（b＋c） +(c+d) ＋（d－a） =0。

即得 a＝ b= d＝－c，而 ad－bc=1，可得 a =1/2，從而得 abcd=-a =-1/4

3 加強由果索因的方法（即分析法訓(xùn)練）和反證法訓(xùn)練

分析法是由果索因，綜合法是由因?qū)ЧＴ谘芯繂栴}時，往往兼用這兩種思維方法，從分析中得到思路，用綜合法嚴謹?shù)乇硎鼋忸}過程。這樣可促進雙向思維的培養(yǎng)，也可簡化思維過程。

例3 ， a，b，c，d均為正數(shù)，求證（a/b+c/d）（b/a+d/c）≥4

分析 若直接從已知出發(fā)，無從下手，而從結(jié)論開始分析將柳暗花明。欲證（a/b+c/d）（b/a+d/c）≥4，即證明1+ad/bc+bc/ad+1≥4就是要證ad/bc+bc/ad≥2，即證：(ad)2+(bc)2≥2abcd，即：(ad-bc)2≥0由實數(shù)的性質(zhì)顯然成立，從而找到證題起點。

反證法也是幾何中尤其是立體幾何中常用的方法。有的問題直接證明有困難，可反過來思考，假設(shè)所證的結(jié)論不成立，經(jīng)層層推理，設(shè)法證明這種假設(shè)是錯誤的，從而達到證明的目的。

4 加強舉反例訓(xùn)練

用命題形式給出的一個數(shù)學(xué)問題，要判斷它是錯誤的，只要舉出一個滿足命題的條件，但結(jié)論不成立的例子，就足以否定這個命題，這樣的例子就是通常意義下的反例。

學(xué)會構(gòu)造反倒不僅對加深記憶，深入理解定義、定理或公式等起著重要的作用，同時它也是糾正錯誤的常用方法，是培養(yǎng)逆向思維能力的重要手段。例如：命題“如果直線a∥平面α，則直線a∥平面α內(nèi)的任何一條直線”為假命題，只需在平面α內(nèi)找出和直線a為異面直線即可判其為假。說明“a>b，則a >b ”為假命題，只需舉a=-2 b=-3即可。

5 加強逆定理的教學(xué)

每個定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經(jīng)過證明后成立即為逆定理。逆命題是尋找新定理的重要途徑。在平面幾何中，許多的性質(zhì)與判定都有逆定理。如：平行平面的性質(zhì)與判定，三垂線定理和三垂線的逆定理等，注意它的條件與結(jié)論的關(guān)系，加深對定理的理解和應(yīng)用，重視逆定理的教學(xué)應(yīng)用對開闊學(xué)生思維視野，活躍思維大有益處。

“思維能力的發(fā)展是學(xué)生智力發(fā)展的核心，也是智力發(fā)展的重要標志。”，因此在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維品性，提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣，及提高思維能力和整體素質(zhì)。

參考文獻

［1］ 摘自：全日制普通高級中學(xué)教科書第二冊（下B）.P135

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