一題通則萬題通

題目千千萬，做題是永遠做不完的，因而，讓學生善于總結，教給學生學會解一題會解一類題是數學教學中的重要任務。

例題：求證：拋物線C：y=-1上不存在關于直線l:x+y=0對稱的兩點。

證明（反證法）：設拋物線上存在關于直線l:x+y=0對稱的兩點，記為A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點為C（x0，y0）

設直線AB的方程為y=x+a，代入y=-1，

得x2-2x-2-2a=0……①

由△＞0解得a＞-……②

由x1+x2=2，y1+y2=2+2a

∴C（1，1+a），因C（1，1+a）在x+y=0上

∴1+1+a=0∴a=-2 ……③

②與③矛盾

∴拋物線y=-1上不存在關于直線x+y=0對稱的兩點。

變式1：若拋物線y=-1上存在兩點A，B關于直線x+y=a對稱，求a的范圍。

解：設直線AB的方程為y=x+b，代入y=-1得

x2-2x-2-2b=0

△=4+8（1+b）＞0 ……①

設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x0，y0）

則x0==1，y0==1+b

∴點M的坐標為（1，1+a）

又∵點M（x0，y0）在直線x+y=a上

∵1+1+b+a ∴b=a-2 ……②

把②代入①得4+8（1+a-2）＞0，解得a＞

所以a的取值范圍為（，+∞）。

變式2：若橢圓+=1上存在兩點A，B關于直線l:y=x+m對稱，求m的范圍。

同理可解得m的取值范圍是 。

變式3：若改為雙曲線-=1呢？（留給大家一起解答）

變式4： 若拋物線y=ax2-1上存在兩點A，B關于直線l:x+y=0對稱，求a的范圍。

解：設直線AB的方程為y=x+b，代入y=ax2-1，得ax2-x-b-1=0，

△=1+4a（b+1）＞0……①

設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點M（x0，y0）

則x0==，y0==+b，

∵點M（x0，y0）在直線l上

∴++b=0， 即b=-……②

把②代入①得1+4a（-+1）＞0 解得a＞

∴a的取值范圍為（，+∞）。

這類題型的常規解法是“判別式”法，若曲線上存在兩點關于直線對稱，那么這兩點的直線方程設為：y=x+m，然后直線方程與曲線方程聯立方程組，消去變量 (或x)得到一個關于x(或y)的一元二次方程，利用中點在直線y=kx+b上x和方程有兩個根（即其“判別式大于零”）使問題得以解決。

例題：若|a|＜1，|b|＜1，求證：＜1。

證明：要證＜1

即證：＜1

即證：a2+b2+2ab＜1+a2b2+2ab

即證：a2+b2-1-a2b2＜0

即證：a2（1-b2）+（b2-1）＜0

即證：（b2-1）（a2-1）＞0 ……①

∵|a|＜1，|b|＜1

∴a2＜1，b2＜1

∴b2-1＜0，a2-1＜0

∴（b2-1）（a2-1）＞0

∴原不等式成立。

變式1：若|a|＜1，|b|＜1，則＜1成立嗎？

解析：成立，只要把b代換-b，即成了和例題一樣的結論，體現了代數中“代”的本質。

變式2：若|a|＞1，|b|＞1，則＜1成立嗎？為什么？

解析：成立，由例題的解答過程可知，＜1成立的一個充分條件是（b2-1）（a2-1）＞0

而當|a|＞1，|b|＞1時，（b2-1）（a2-1）＞0顯然成立，

所以＜1也是成立的。

（作者單位：江西省贛縣中學）