凸函數與不等式

摘要凸函數是以不等式為特征性質的一類函數，它在證明比較復雜的不等式方面有著重大作用。本文從凸函數的定義出發，引出Jensen不等式，并進行了推廣應用。利用函數的凸性來研究不等式，比以往方法更簡潔。

關鍵詞凸函數 Jensen不等式證明

中圖分類號：O174.13文獻標識碼：Ａ

Convex Function and Inequality

CUI Yali

(Zhaoqing Business And Technology College， Zhaoqing， Guangdong 526020)

AbstractThe convex function is a kind of function with special properties ， it proved more complex inequality plays an important role， This article from the definition of convex function， leads to Jensen's inequality， and the popularization and application， Using the convex function to study of inequalities than the previous method is more concise.

Key wordsconvex function; Jensen's inequality; prove

1 凸函數的基本不等式

（1）定義：設函數f(x)為定義在區間IR上的函數，若對x1，x2∈[0，1]，∈[0，1]總有f(x1+(1－)x2)≤f(x1)+(1-)f(x2)LL(1)，則f(x)稱為區間Ｉ上的凸函數（若不等式反向，則稱函數f(x)在Ｉ上的凹函數）。若不等式當且僅當x1 = x2時成立，則稱f(x)在Ｉ上的嚴格凸函數。

注[1]若f(x)為區間Ｉ上的凹函數，則-f(x)為區間Ｉ上的凸函數。從而凸函數特征的討論對凹函數也適用。

[2]若＞0，＞0， += 1（1）式可變形為f （x1 + x２)≤f (x1) +f (x2) L L(2)

（2）凸函數的判斷定理：

定理設f（x）在［a，b］內連續，在（a，b）內有二階導數f n（x），且f n（x）＞0（或f n（x）＜0），則f（x）是［a，b］上的嚴格凸函數（或嚴格凹函數）。

2 Jensen不等式

設函數f（x）為［a，b］上的凸函數，xi∈［a，b］，ｉ＞０（i = 1，2，，n）且，則有（3）成立。若ｆ（x）是嚴格凸函數，當且僅當x1 = x2 = xn時取等號。

Jensen不等式還可變形為以下形式：

（a） 設函數f（x）為［a，b］上的嚴格凸函數，xi∈［a，b］，ｉ＞0（i＝1，2，L，n），且，則有ｆ（）

≤ ＬＬ（４）成立。當且僅當x1 = x2 = L = xn時等號成立。

（b）函數f（x）為區間上凸函數，當1 = 2 = L = n時，

有當且僅當x1 = x2 = L = xn時等號成立。

3 凸函數在不等式中的應用

3.1 基本不等式的凸函數證法

凸函數與Jensen不等式，可以用來推證許多著名不等式，如：Holder 不等式、Cauchy 不等式、平均值不等式、Young 不等式等 。證明時構造一個恰當的函數則是證明的關鍵。

例1：（Holder不等式）設ai，bi，i = 1，2，L，n為正實數，p＞0，q＞0，p + q = 1則，且當且僅當 == L = 時等號成立。

證：令，設函數f（x）= -lnx， Qf'（x）= -，

f ''（x）=＞0，可知f（x）= -lnx為嚴格凸函數。

令1 = p，2 = q，x1 = ，x2 = ，

由Jensen不等式（3）可知：

pln + qln ≤ ln[p + q]，i = 1，2，L，n。

即：（）pg（）q≤[p + q]=1，i = 1，2，L，n，

所以：≤，即≤ 1

整理得Holder不等式：

≤成立。

其中當 = ，i = 1，2，L，n時等號成立，即為：

== L = 時等號成立。

3.2復雜不等式凸函數證法

一些題目用一般的方法很難解決，而利用凸函數與Jensen 不等式則易證結論。

例2 證明若aij＞0（i = 1，2，L，nj = 1，2，L，s），有

，則

證：令f（x）= lnx，則f''（x）= - ＜0，可知f（x）= -lnx為嚴格凹函數。則對于任意aij＞0（i = 1，2，L，nj = 1，2，L，s）， 通過Jensen不等式（3）可得，

則：

令可得：

整理得： ≤，其中（c為常數，j = 1，2，L，s）時取等號。證畢。

例3 在VABC中，證明sinA + sinB + sinC-tan - tan - tan ≤

證：設函數f（x） = sinx- tan，x∈（0，）時，f''（x） = -（sinx + sec2tan ）＜0，因而f（x）為x∈（0，）上的凹函數。對A，B，C∈（0，）用Jensen不等式（5）有，

≤f（）

則：

≤sin-tan

即：

≤sin- tan

所以sinA+sinB+sinC-tan -tan -tan≤，證畢。

4 結語

利用凸函數定義與Jensen不等式證明不等式，要巧妙的構造函數及選取適當的xi，此法雖具有一定的構造性，但是能使十分復雜的問題迎刃而解，這就是J凸函數奇妙之處。

參考文獻

[1]匡繼昌.常用不等式.長沙:湖南教育出版社，1989.

[2]史樹中.凸分析.上海:科學技術出版社，1990.

[3]劉玉蓮，等.數學分析講義.高等數學出版社，1996.

[4]馮德興.凸分析基礎.北京:科學出版社，1995.

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