復規范形方法簡介及其研究現狀

摘 要:復規范形理論作為研究非線性常微分方程的強有力工具之一，在研究非線性動力系統的穩定性和分岔方面發揮了重要作用。本文介紹由Nayfeh提出的復規范形及由張琪昌提出的改進的復規范形方法，并介紹其在非線性振動中的應用情況。

關鍵詞:復規范形 改進 方法介紹 研究現狀

中圖分類號:X83文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(b)-0001-01

復規范形理論是由Nayfeh[1]提出的，其核心內容是以復數形式表示非線性動力系統方程，并依據復數運算的自身特性計算系統的規范形，其好處是在規范形求解過程中不必引入類似實數形式矩陣表示法的矩陣運算，所以求解過程比較簡單也易于實現計算機編程。

1 復規范形法的基本形式

考慮如下的單自由度系統:

(1)

式中可展開成和的冪級數的形式。令，，則式(1)可寫成:

(2)

為獲取系統規范形引入近恒同變換:

(3)

將(3)代入(2)中可得:

(4)

根據(4)中非線性項的形式選擇適當的近恒同變換，，這是一般情況下實數形式規范形理論的題設形式。同樣的我們可以將上述過程表示為復數形式。引入如下的復變量:

， (5)

分別求解式(5)中的復變量，

，(6)

式(6)中的對時間求導，同時考慮式(1)有:

(7)

將式(5)代入(7)，并化簡得:

(8)

2 改進后的復規范形方法

Nayfeh[1]提出的規范形理論在研究弱非線性振動系統中的應用非常適用，但對于強非線性振動卻并不適用。因為對于弱非線性振動而言，振動過程中的頻率受非線性項的影響很小，可以忽略不計，振動過程中的頻率基本保持為基頻不變，所以Nayfeh在文獻[1]中就是以系統基頻作為振動過程中的頻率。但對于強非線性系統，非線性項對于振動頻率的影響是不可忽略的，因此張琪昌[2]提出了一種基于復規范形理論的待定瞬時固有頻率法，在系統的規范形中引入新的瞬時頻率取代原有系統中的。

考慮如下的單自由度系統:

改進后的復規范形方法與原方法的區別就在于式(5)寫成如下形式:，(9)

式中即為待定瞬時固有頻率，將式(9)代入式(8)中可得:

(10)

為了簡化式(10)，引入近恒同的非線性變換:

(11)

其中:

(12)

(13)將式(13)代入式(10)可得:

(14)

將式(11)代入式(9)的第一式得:

(15)

為了消除中的永年項，，方程(14)應滿足如下條件:

(16)

的表達式中有三個待定的常數，根據規范形理論，在方程(14)中不含有二階齊次多項式，由此可計算出這三個待定常數，從而將方程(14)中的二階齊次多項式化簡。g的表達式中有六個待定的常數，化簡了方程(14)中的二階齊次多項式后，式(14)由6個單項式組成，其中2項為共振項，為了得到最簡形式，令式(14)中4個非共振項等于零，可得到4個方程，再加上消除永年項的條件式(16)，可確定除g的6個待定系數，從而得到的最簡形式。

3 改進后的復規范形法在非線性振動中的應用和研究現狀

張琪昌在文獻[1]中應用改進后的待定瞬時固有頻率法求得了一個自由度強非線性振動系統的漸進解，并驗證了其計算精度。得出結論:對于強非線性振動系統，改進后的復規范形方法比Nayfeh的方法計算精度更高。郝淑英將這種方法推廣到兩個自由度的強非線性系統。本人在前面的工作基礎上，將改進后的復規范形法引入到多自由度強非線性振動系統中，進一步驗證了該方法在多自由度強非線性振動系統中的適用性。至此由張琪昌提出的改進復規范形方法在強非線性振動系統中的適用性得到了全面的驗證，為多自由度強非線性振動系統的求解提供了一個精度較高的計算方法。可進一步將該方法引入針對強非線性振動系統的力學特性分析和分岔、混沌的研究。

參考文獻

[1]張琪昌，郝淑英，陳予恕.用范式理論研究強非線性振動問題，振動工程學報[J].2000.

[2]張琪昌，王煒，郝淑英.研究強非線性振動問題的最簡規范形方法[J].應用力學學報，2008.

[3]丁玉梅，張琪昌.余維2退化Hopf分岔系統的最簡規范形[J].振動工程學報，2008.

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