復規范形方法簡介及其研究現狀

摘 要:復規范形理論作為研究非線性常微分方程的強有力工具之一，在研究非線性動力系統的穩定性和分岔方面發揮了重要作用。本文介紹由Nayfeh提出的復規范形及由張琪昌提出的改進的復規范形方法，并介紹其在非線性振動中的應用情況。

關鍵詞:復規范形 改進 方法介紹 研究現狀

中圖分類號:X83文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(b)-0001-01

復規范形理論是由Nayfeh[1]提出的，其核心內容是以復數形式表示非線性動力系統方程，并依據復數運算的自身特性計算系統的規范形，其好處是在規范形求解過程中不必引入類似實數形式矩陣表示法的矩陣運算，所以求解過程比較簡單也易于實現計算機編程。

1 復規范形法的基本形式

考慮如下的單自由度系統:

(1)

式中可展開成和的冪級數的形式。令，，則式(1)可寫成:

(2)

為獲取系統規范形引入近恒同變換:

(3)

將(3)代入(2)中可得:

(4)

根據(4)中非線性項的形式選擇適當的近恒同變換，，這是一般情況下實數形式規范形理論的題設形式。同樣的我們可以將上述過程表示為復數形式。引入如下的復變量:

， (5)

分別求解式(5)中的復變量，

，(6)

式(6)中的對時間求導，同時考慮式(1)有:

(7)

將式(5)代入(7)，并化簡得:

(8)

2 改進后的復規范形方法

Nayfeh[1]提出的規范形理論在研究弱非線性振動系統中的應用非常適用，但對于強非線性振動卻并不適用。因為對于弱非線性振動而言，振動過程中的頻率受非線性項的影響很小，可以忽略不計，振動過程中的頻率基本保持為基頻不變，所以Nayfeh在文獻[1]中就是以系統基頻作為振動過程中的頻率。……