淬火現(xiàn)象中的一個重要定理

摘 要:本文利用離散的方法，通過單調(diào)收斂定理得到了帶有兩個吸收源的非線性拋物方程解的局部存在性。這在淬火現(xiàn)象的研究中，是一個非常重要的定理。

關(guān)鍵詞:非線性拋物方程 淬火 局部解的存在性

中圖分類號:O175.2文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2011)04(c)-0220-01

本文主要研究非線性拋物型方程解的淬火現(xiàn)象中的解的局部存在性問題。淬火現(xiàn)象的提出始于 Kawarada 1975年對奇異反應(yīng)擴散方程的研究。繼此之后，淬火現(xiàn)象吸引了很多人的注意和研究，涉及的問題、模型各種各樣。對于拋物型方程的淬火現(xiàn)象，已有大量的研究文章和結(jié)果。在非線性發(fā)展方程解的淬火問題的研究中，分析具有兩個吸收源的方程是有明顯意義的，但是人們考慮的大都是只有一個吸收源的非線性發(fā)展方程，對于含有兩個吸收源的問題還沒有進行更詳細的分析。因此本文致力于研究具有復(fù)雜吸收源問題解的局部存在性。這是證明淬火的一個重要且關(guān)鍵的定理。

我們將研究如下一類偏微分方程的初邊值問題

這里，是一個常數(shù)。

1 淬火的定義

對于淬火的定義主要有兩種方式:一種是當(dāng)趨于時空間的某點時，解趨于一個常數(shù)，同時解對時間的偏導(dǎo)數(shù)趨于無窮;另一種是現(xiàn)在比較流行的定義方式，只需要解趨向于一個常數(shù)。我們可以證明在一些情況下這兩種定義方式是等價的。本文采用后者的方式定義，現(xiàn)定義如下:

定義:如果存在有限時刻，使得。我們就說問題(A)的解在有限時間內(nèi)發(fā)生淬火，時刻稱為解的淬火時間。

2 主要結(jié)論及證明

定理:存在一個有限時刻，使得問題(A)的解在上存在。

證明:設(shè)定義在上的是問題

的基本解。眾所周知，

并且是問題(A)的解當(dāng)且僅當(dāng)滿足

這里。

令則有

由于是增函數(shù)，，則對于所有的，有。然后通過迭代，我們能夠證出。設(shè)是一個正數(shù)，假設(shè)，，則有。如果足夠小，則有

也就是說，如果足夠小，則有

因為，

所以我們能夠找到足夠小的使得上式成立。這樣，序列就是一個定義在上的連續(xù)函數(shù)的遞增序列，并且有上界。根據(jù)單調(diào)收斂定理，我們有在上存在，并且滿足如下等式

這樣我們就證出了本定理。

參考文獻

[1]Howard Allen Levine. Quenching， non-quenching， and beyond quenching for solution of some parabolic equations[J].Annali di Matematica Pura ed Applicata，1989，155:243～260.

[2]Theodore Boni. On quenching of solutions for some semilinear parabolic equations of second order[J].Bulletin of the Belgian Mathematical Society， 2000，7:73～95.

[3]Yuanhong Zhi，Chunlai Mu.The quenching behavior of a nonlinear parabolic equation with nonlinear boundary outflux[J].Applied Mathematics and Computation，2007，184(2):624-630.

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