水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)分布對(duì)GPS高程擬合影響的分析

摘 要:本文從GPS高程擬合的基本原理出發(fā)，闡述了高程擬合誤差的原因，分析了水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的分布狀況對(duì)GPS高程擬合精度的影響，并且結(jié)合既有白城至烏蘭浩特鐵路的GPS高程擬合實(shí)例來證明。

關(guān)鍵詞:GPS 高程擬合 應(yīng)用

中圖分類號(hào):TU19文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2011)04(c)-0068-02

隨著基于GPS應(yīng)用技術(shù)理論的飛速發(fā)展，綜合利用GPS定位技術(shù)和地球重力信息代替低等級(jí)的常規(guī)水準(zhǔn)測(cè)量(山區(qū)主要是等外，平原有時(shí)可達(dá)四等)已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。但是在實(shí)際生產(chǎn)過程中，水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的分布狀況對(duì)GPS高程的擬合精度有明顯影響。水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)分布不合理，使某些擬合點(diǎn)的外推距離太大，導(dǎo)致外推點(diǎn)的精度太差。本文通過對(duì)GPS高程擬合模型原理的分析，應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法，方便地根據(jù)擬合點(diǎn)對(duì)應(yīng)于變換后擬合參數(shù)的系數(shù)矩陣，判斷其擬合高程的誤差是否會(huì)超限，并提出了判別標(biāo)準(zhǔn)。

1 水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)分布對(duì)GPS高程擬合的影響

高程異常的擬合誤差可分為模型代表性誤差和擬合逼近誤差兩部分。模型代表性誤差指擬合函數(shù)與實(shí)際大地水準(zhǔn)面光滑程度的差異，如用平面與大地水準(zhǔn)面之間的差異就屬于平面擬合模型的代表性誤差，即使增加擬合的已知點(diǎn)數(shù)也不可能減小這項(xiàng)誤差。擬合逼近誤差指即使擬合函數(shù)在理論上能精確逼近大地水準(zhǔn)面，由于采樣點(diǎn)的分布和數(shù)量以及采樣誤差引起擬合曲面的誤差。由于大地水準(zhǔn)面是一個(gè)用無窮多可列系數(shù)才能在理論上充分逼近的不規(guī)則曲面，采樣誤差又是不可避免的，因此任何擬合方法都包含這兩部分誤差，本文所探討的擬合點(diǎn)分布對(duì)高程異常的影響主要指第二項(xiàng)誤差。

根據(jù)(3)式擬合參數(shù)估值X的協(xié)方差陣可表示為

(1)

其中，為協(xié)因數(shù)陣，為單位權(quán)方差，其估值可表示為

(2)

求得了擬合參數(shù)就可由(2)式計(jì)算GPS中任意點(diǎn)的高程異常。設(shè)GPS網(wǎng)中共有n個(gè)GPS點(diǎn)，則需要由擬合參數(shù)計(jì)算個(gè)未聯(lián)測(cè)正常高的GPS點(diǎn)的高程異常，其矩陣形式可表示為

(3)

式中，X為擬合參數(shù)向量，與分別為個(gè)高程異常的擬合向量及其擬合參數(shù)矩陣。由誤差傳播定律可求得個(gè)高程異常擬合值的協(xié)方差陣為

(4)

系數(shù)矩陣與分別確定了高程異常采樣點(diǎn)與擬合點(diǎn)的分布，但協(xié)因數(shù)陣不是對(duì)角陣，不易從系數(shù)矩陣與來判斷水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)分布的影響。顧及協(xié)因數(shù)陣是對(duì)稱非負(fù)定矩陣，對(duì)它作正交分解如下，

(5)

式中，是正交陣，滿足，其中為t階單位陣;是對(duì)角陣。顧及式(5)，法方程系數(shù)陣的正交分解式可表示為

(6)

其中，，即就是法方程系數(shù)陣的特征值。

若對(duì)擬合參數(shù)向量X作如下正交變換

(7)

由協(xié)因數(shù)傳播定律得

，意味著經(jīng)式(7)正交變換后的擬合參數(shù)向量是相互獨(dú)立的。將式(5)代入式(4)式得

(8)

其中，為正交變換后的系數(shù)矩陣。由于是對(duì)角陣，系數(shù)矩陣中的元素直接反映了對(duì)中相應(yīng)項(xiàng)誤差的放大程度。若求第i點(diǎn)的高程異常擬合誤差，則由式(8)得

(9)

式中，是系數(shù)矩陣的第i項(xiàng)k列元素。取間接觀測(cè)值高程異常的權(quán)為單位權(quán)，則就是高程異常的觀測(cè)誤差。若要求高程異常擬合誤差不超過其觀測(cè)誤差的倍，即

(10)

稱為擬合誤差放大率。將上式代入式(9)得

(11)

應(yīng)用等影響原理，取，代入上式得

(12)

取上式的倍作其限差，則擬合點(diǎn)系數(shù)矩陣中的各元素的限差要求為

(13)

上式中下標(biāo)的取值范圍為:

。可根據(jù)擬合的精度要求設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)。如果系數(shù)矩陣 中的每個(gè)元素均滿足上式(13)的限差要求，則所選的水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)對(duì)于所采用的擬合模型是合理的;否則對(duì)于超限的點(diǎn)而言，水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)方案不適合于所采用的高程擬合模型。此時(shí)，需要改進(jìn)水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)方案或更換高程擬合模型。

2 計(jì)算結(jié)果分析

既有白城至烏蘭浩特鐵路GPS控制網(wǎng)如圖1所示，線路總長(zhǎng)約80km，有36個(gè)GPS控制點(diǎn)

其中1、2、3、4、5、6、12、17、18、19、20、21、24、27、31、32、34、37、39號(hào)點(diǎn)聯(lián)測(cè)了水準(zhǔn)高程。圖中點(diǎn)位用黑框表示2、3、12、17、27、32、37號(hào)點(diǎn)為擬合計(jì)算采用的已知點(diǎn)，這7個(gè)已知點(diǎn)主要分布在網(wǎng)的西邊。采用曲面模型擬合時(shí)，各GPS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的擬合高程與已知水準(zhǔn)高程的差值如下表1所示，

曲面擬合模型有6個(gè)擬合參數(shù)，只有1個(gè)多余觀測(cè)值，因此已知點(diǎn)上的差值都很小。差值超過10cm的點(diǎn)19、20 、21和39都位于控制網(wǎng)的東側(cè)，從圖中可見該區(qū)域的控制較弱。取，用本文給出的標(biāo)準(zhǔn)可判別出9、10、13、14、15、16、19、20、21、31、33、39指標(biāo)超限，表1中差值超過10cm的4個(gè)點(diǎn)的指標(biāo)都超限，另1個(gè)指標(biāo)超限點(diǎn)31號(hào)的差值也要達(dá)到3.3cm，還有7個(gè)指標(biāo)超限的點(diǎn)未聯(lián)測(cè)水準(zhǔn)。當(dāng)取時(shí)，31號(hào)的指標(biāo)已經(jīng)不超限，而差值超過10cm的19、20、21和39點(diǎn)的指標(biāo)依舊超限。

從上述結(jié)果可見，本節(jié)給出的判別指標(biāo)是合理的。該指標(biāo)有助于合理選擇與擬合模型相適合的GPS點(diǎn)水準(zhǔn)高程聯(lián)測(cè)方案，也便于選擇合適的檢核點(diǎn)，檢查擬合點(diǎn)的高程擬合精度。

3 結(jié)語

實(shí)踐證明綜合水準(zhǔn)高差觀測(cè)值和GPS技術(shù)擬合正常高的方法是可行的。實(shí)際作業(yè)中，最好線路的兩端有已知GPS水準(zhǔn)點(diǎn)作為約束條件，如果達(dá)不到上述條件，應(yīng)盡量將已知水準(zhǔn)點(diǎn)布設(shè)在線路中間，以免誤差累積。水準(zhǔn)高差要均勻布設(shè)在控制網(wǎng)中，布設(shè)長(zhǎng)度要視測(cè)區(qū)情況而定，平原地區(qū)可適當(dāng)減少，山區(qū)要增加。當(dāng)用平面模型進(jìn)行擬合時(shí)，布設(shè)高差觀測(cè)段時(shí)應(yīng)考慮垂直線路的方向。

“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”