基于分布函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差的簡(jiǎn)潔求法

摘 要:在僅已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)求解數(shù)學(xué)期望與方差時(shí)，通常利用分布函數(shù)求出分布列或概率密度，再根據(jù)定義求出數(shù)學(xué)期望與方差，過(guò)程較為復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本文針對(duì)非負(fù)整值離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量，從理論上推導(dǎo)出了基于分布函數(shù)直接求解數(shù)學(xué)期望與二階原點(diǎn)矩的計(jì)算公式，并可間接用于方差的求解。進(jìn)一步通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了此方法在一定場(chǎng)合下的有效性與簡(jiǎn)潔性。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)期望 方差 二階原點(diǎn)矩 分布函數(shù)

中圖分類號(hào):O211文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2011)04(c)-0146-02

數(shù)學(xué)期望與方差是隨機(jī)變量的兩個(gè)重要數(shù)字特征，用定義求解數(shù)學(xué)期望與方差是最常用、最基本的方法，但定義中僅給出了用分布列與概率密度的求解方法[1～2]。有時(shí)在實(shí)際中往往已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，雖然可以將分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為分布列或概率密度，但過(guò)程稍顯復(fù)雜[3]。下面主要討論不同情況下，如何利用分布函數(shù)直接求解數(shù)學(xué)期望與二階原點(diǎn)矩的方法，同時(shí)可間接用于方差的求解。

1 非負(fù)整值隨機(jī)變量的情形

非負(fù)整值隨機(jī)變量是指只取非負(fù)整數(shù)值的離散型隨機(jī)變量。利用分布函數(shù)求非負(fù)整值隨機(jī)變量的期望與二階原點(diǎn)矩，有如下結(jié)論。

定理1:設(shè)是非負(fù)整值離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若與的數(shù)學(xué)期望均存在，則

(1)

(2)

證明:設(shè)，為的分布列，由于與均存在，則級(jí)數(shù)與均絕對(duì)收斂，故

(X≥i).

++

(X≥k)

根據(jù)方差的求解公式，很容易得到如下結(jié)論:

推論:設(shè)是非負(fù)整值離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若的方差存在，則 (3)