淺談含參量無界函數(shù)反常積分

摘 要:本文定義了含參量無界函數(shù)反常積分，并給出了使其一致收斂的判定準(zhǔn)則。

關(guān)鍵詞:含參量無界函數(shù)反常積分一致收斂

中圖分類號(hào):O172文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2011)06(b)-0158-01

積分問題一直是數(shù)學(xué)分析的一塊重要內(nèi)容.關(guān)于含參量無窮積分的各種定理已有完整理論體系，而含參量無界函數(shù)反常積分被提及很少.本文主要研究含參量無界函數(shù)反常積分定義，并給出了使其一致收斂的判定準(zhǔn)則。

設(shè)在上有定義.若對(duì)的某些值，為函數(shù)的瑕點(diǎn)，則稱為含參量的無界函數(shù)反常積分，簡(jiǎn)稱含參量反常積分.若對(duì)，積分都收斂，則其積分值是在上取值的函數(shù).含參量反常積分在上一致收斂的定義是:對(duì)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，則稱含參量反常積分在上一致收斂.

定理1:在上一致收斂當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有.

證必要性:在上一致收斂可知，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有:

，，

充分性:對(duì)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有.由瑕積分的柯西收斂準(zhǔn)則知收斂.對(duì)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有:

，當(dāng)，有:

，在上一致收斂.

定理2:在上一致收斂當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任一趨于的遞增數(shù)列(其中)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.

證:必要性:在上一致收斂，故對(duì)，，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有.又，對(duì)，，當(dāng)，有，，在上一致收斂.

充分性:反證法，假設(shè)在上不一致收斂，則.對(duì)，和，使≥，取，則和，使≥，一般的取，有和，使≥，所得數(shù)列是遞增，且.考察級(jí)數(shù)，由≥知，對(duì)，只要，有，使≥，與在上一致收斂矛盾，故假設(shè)不成立.

以上是對(duì)含參量無界函數(shù)反常積分的相關(guān)定理研究，希望對(duì)廣大讀者有所幫助.

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