部分分式分解的待定系數(shù)法

摘 要:利用部分分式求有理函數(shù)積分時，確定部分分式的系數(shù)很困難，本文舉例介紹確定部分分式待定系數(shù)的簡單方法.

關(guān)鍵詞:有理函數(shù)部分分式待定系數(shù)法積分

中圖分類號:O17文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2011)09(C)-0152-01

Abstract:The solutions to determine the undetermined coefficients of partial fraction in the rational function integral is introduced.

KeyWords:rational function;integral;partial fraction;undetermined coefficients solution

引言

利用部分分式求有理函數(shù)的積分時，確定部分分式的系數(shù)的計算量很大，舉例介紹如何確定部分分式的待定系數(shù)。

1 拉格朗日乘數(shù)法中方程組的解法

例1計算不定積分

解:設(shè)

去分母得，

由(1)式確定系數(shù)A，B，C，D，E方法有以下四種。

1.1 比較系數(shù)法

即將(1)式右端各項乘出，得到一個四次多項式，與等號左邊多項式比較同次冪的系數(shù)A，B，C，D，E的值。這是最基本得方法，但本題用這種方法十分繁瑣［1］，下面這種方法不介紹了只介紹幾種簡單的方法。

1.2 賦值法

在(1)式中，令得

但本題中原分式的分母中只有一個實根，所以令為其它值以求得的值也比較麻煩。對本題而言這種方法也不太方便。下面介紹兩種用于化分母有重根或較復(fù)雜的虛根的有理函數(shù)為部分分式時較為有效。

1.3 逐次約簡法

先定出一個系數(shù)，然后代入后再移項約簡，這樣又定出一個系數(shù)。依次下去，直至全部系數(shù)定出為止。

第一步:令，得

第二步:把代入(1)式右端后，將以為系數(shù)的項移到等式的左邊，兩邊約去因式，得

在(2)中令，得

第三步:把代入(2)式，再把以為系數(shù)的項移到等式的左邊，兩邊約去，得

在(3)式中令，得.

第四步:把代入(3)式，將以為系數(shù)的項移到等式的左邊，兩邊再約去因式(x-1)，得

從而，得

1.4 導(dǎo)數(shù)法

先定出一個系數(shù)，然后代入后再移項約簡，兩邊求導(dǎo)再移項約簡，這樣又定出一個系數(shù)。依次下去，直至全部系數(shù)定出為止。

第一步:令，得

第二步:把代入(1)式右端后，將以為系數(shù)的項移到等式的左邊，兩邊求導(dǎo)，得

在(4)中令，得

第三步:把代入(2)式，再把以為系數(shù)的項移到等式的左邊，兩邊求導(dǎo)約去公因式2，得

在(5)式中令，得

第四步:把代入(3)式，將以為系數(shù)的項移到等式的左邊，兩邊再求導(dǎo)約去公因式3，得

從而，得

將以求得的系數(shù)代入各分式后，得

2 總結(jié)

總之，賦值法是最基本的方法。在逐次約簡或求導(dǎo)后，實際上還是要用賦值法來確定各系數(shù)。以上，為了介紹這四種方法，所以我們在解題中單獨使用了一種方法。實際上在解題中可以交叉使用這些方法，盡可能使解法簡單。例如分解因式方便時，可分解因式，約去公因式而逐次化簡;分解因式麻煩時，可用求導(dǎo)法同樣達到逐次化簡的目的。

參考文獻

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編．《數(shù)學(xué)分析》(上)[M]．第三版．北京:高等教育出版社，2001．