常用時頻變換方法的淺析與比較

摘 要:傅里葉變換、短時傅里葉變換和小波變換是信號處理中最常用的時頻變換工具，本文對這三種常用時頻變換工具進行了理論介紹，并比較和分析了三種變換方法在信號處理中特點和存在的缺陷。

關(guān)鍵詞:傅里葉變換短時傅里葉變換小波變換Heisenberg測不準(zhǔn)原理

中圖分類號:G642文獻標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2011)09(c)-0112-01

在信號的描述中時間和頻率是兩個最重要的物理量，這兩個物理量之間有著密不可分的聯(lián)系。而時頻分析方法的目的就是在于構(gòu)造一種時間和頻率的密度函數(shù)，以便更好地揭示信號中的頻率分量及其隨時間的變化過程。

1 傅里葉變換

傅里葉變換[1]從純粹的數(shù)學(xué)意義上看是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將信號從時間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將信號從頻率域轉(zhuǎn)換到時間域。其數(shù)學(xué)表達形式如下:

(1)

的逆變換為:

(2)

傅里葉變換將信號的時域和頻域聯(lián)系了起來，能夠通過對信號的頻域分析更加清晰地了解信號的變化規(guī)律。但是，傅里葉變換需要利用信號的全部時域信息得到信號的頻域特性，只能單獨地反應(yīng)信號的時域特性或頻域特性。對非平穩(wěn)信號而言在分析時，希望能夠知道其頻域特性，同時得知在頻譜中的頻率在時間域上的發(fā)生時間，而傅立葉變換不能反映隨時間的變化信號頻率的變化情況。

2 短時傅立葉變換

Dennis Gabor于1946年引入了短時傅立葉變換[2]，其基本思想是用一個窗函數(shù)來截取信號，假定信號在窗內(nèi)是平穩(wěn)的，利用傅立葉變換分析窗內(nèi)的信號，以確定窗內(nèi)存在的頻率成分，然后沿著信號時間方向移動窗函數(shù)，得到頻率隨時間的變化關(guān)系，即所需的時頻分布[3]。信號的STFT的表達式為:

(3)

為窗函數(shù)。隨著時間的變化，所確定的時間窗在軸上移動，對逐步進行分析。因此，反映了在時刻頻率處信號內(nèi)容的相對含量。這樣，信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在、這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)。短時傅立葉變換在窗函數(shù)固定下來以后，它的頻率窗和時間窗的大小和形狀就固定了，如圖1所示。為了得到更好的時頻分析效果，和應(yīng)盡可能小。但是Heisenberg測不準(zhǔn)原理指出，和是互相制約的，兩者不可能同時都任意小。

Heisenberg測不準(zhǔn)原理[4]:

(4)

上是表明在時間軸和頻率軸上，不可能同時獲得任意小的精度。因此，一旦窗函數(shù)確定，窗口的形狀和大小都將保持不變，與頻率無關(guān)。若要改變分辨率，則需要重新選擇窗函數(shù)。

對于非平穩(wěn)信號，當(dāng)信號變化劇烈時，要求窗函數(shù)有較高的時間分辨率;而在波形變化比較平緩的間段內(nèi)主要是低頻信號，則要求窗函數(shù)有較高的頻率分辨率。但是，短時傅里葉變換固定的窗函數(shù)卻不能兼顧頻率與時間分辨率的要求。

3 小波變換

小波變換利用了一個具有快速衰減性和振蕩性的函數(shù)—— 母小波，將其伸縮和平移得到了一族函數(shù)，稱為小波基函數(shù)。小波基函數(shù)在時頻相平面具有可變的時間窗和頻率窗，以適應(yīng)不同的分辨率。

由圖2所示的小波變換的時頻窗可以看出小波變換中的窗函數(shù)隨中心頻率的變化而變化，在高頻處時間窗變窄，在低頻處頻率窗變寬[5]，因此小波分析方法是一種窗口大小固定，但其形狀可變(時間窗和頻率窗都可改變)的時頻局域化分析方法。即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，使小波變換具有了對信號的自適應(yīng)性，因此更適合對信號進行時頻分析。

由上述分析可看出，傅里葉變換是一種純頻域的分析方法，而非平穩(wěn)信號的分析卻需要能夠同時進行時域和頻域分析的變換工具。短時傅立葉變換是窗口大小固定且形狀固定不變的分析方法，但是不能兼顧頻率和時間域的分析要求。而小波變換的出現(xiàn)滿足了在信號處理中時域和頻域中都具有局部表征能力的特性，是一種窗口大小固定不變但是其形狀可改變的分析方法，并且具有多分辨率分析的特點，因此被譽為信號分析領(lǐng)域的顯微鏡。

參考文獻

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[3]付麗華李宏偉，張猛.基于小波變換的復(fù)雜噪聲背景中諧波恢復(fù)方法[J].工程地球物理學(xué)報.2005，2(1):21～28.

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[5]Chui C K.An Introduction to wavelets[M].Academic Press，1992.