關于現行微積分原理的再思考

摘要：始于達朗貝爾終于勒貝格所建立的微積分原理被稱為現行微積分原理體系。本文分別從現行微積分原理體系中微分定義、結構合理性、解決具體問題的能力、易讀性以及對科學發展的影響眾多角度進行分析論述，提出了自己的思考。

關鍵詞：微積分，微分，極限論

中圖分類號：O172文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X(2011)10(b)-0000-00

1667年，牛頓創建了微積分方法和自己并不滿意的微積分原理[1]。1821年，柯西否定了以牛頓和萊布尼茲共同思想為內容，以萊布尼茲表達方式為形式的微積分發展路線，并與后來的數學家Riemann、Weierstrass、Darbowx和Lebesque一道建立了現行微積分體系[2]。盡管經歷了344年的改建，這座大廈的基礎部分似乎仍然是值得完善的，不少學者對此都提出了自己的思考與質疑。王昆揚論述了Riemanm積分理論的本質缺陷是不承認可加性，指出在大學數學系本科基礎課中以Lebesgue積分取代Riemann積分是歷史的必然 [3]。王澤漢則運用馬克思關于無限小的辯證觀點，指出微積分學中某些概念和方法的缺陷與不足，如極限定義中的“”與“”掩蓋了矛盾的實質，從而在微積分學中產生了一些不能自圓其說的矛盾，并在此基礎上提出新的極限理論以及微積分學的改革途徑[4]。米哈伊·列夫舍茨指出現行微積分教材中的喧賓奪主，提出了不需要連續性、極限和緊性的概念直接、自然卻嚴格地建立微分和積分的流線型理論的新方法[5]。李清文指出馬克思的微分方法與傳統的微分方法區別甚大，他從哲學角度入手，證明了無限小是一個理想的數，是一個變數，從而佐證了馬克思的觀點 [6]。……