關于現行微積分原理的再思考

摘要：始于達朗貝爾終于勒貝格所建立的微積分原理被稱為現行微積分原理體系。本文分別從現行微積分原理體系中微分定義、結構合理性、解決具體問題的能力、易讀性以及對科學發展的影響眾多角度進行分析論述，提出了自己的思考。

關鍵詞：微積分，微分，極限論

中圖分類號：O172文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X(2011)10(b)-0000-00

1667年，牛頓創建了微積分方法和自己并不滿意的微積分原理[1]。1821年，柯西否定了以牛頓和萊布尼茲共同思想為內容，以萊布尼茲表達方式為形式的微積分發展路線，并與后來的數學家Riemann、Weierstrass、Darbowx和Lebesque一道建立了現行微積分體系[2]。盡管經歷了344年的改建，這座大廈的基礎部分似乎仍然是值得完善的，不少學者對此都提出了自己的思考與質疑。王昆揚論述了Riemanm積分理論的本質缺陷是不承認可加性，指出在大學數學系本科基礎課中以Lebesgue積分取代Riemann積分是歷史的必然 [3]。王澤漢則運用馬克思關于無限小的辯證觀點，指出微積分學中某些概念和方法的缺陷與不足，如極限定義中的“”與“”掩蓋了矛盾的實質，從而在微積分學中產生了一些不能自圓其說的矛盾，并在此基礎上提出新的極限理論以及微積分學的改革途徑[4]。米哈伊·列夫舍茨指出現行微積分教材中的喧賓奪主，提出了不需要連續性、極限和緊性的概念直接、自然卻嚴格地建立微分和積分的流線型理論的新方法[5]。李清文指出馬克思的微分方法與傳統的微分方法區別甚大，他從哲學角度入手，證明了無限小是一個理想的數，是一個變數，從而佐證了馬克思的觀點 [6]。此外，如林群、張景中、師教民等著名學者，也一直在從事著與微積分簡化普及或完善革新的工作。

本文在總結前輩的研究成果的基礎上，分別從現行微積分原理體系中微分定義、結構合理性、解決具體問題的能力、易讀性以及對科學發展的影響角度進行分析論述，指出了現行微積分原理中仍需商榷之處。

1現行微積分原理體系中微分定義的思考

現行微積分原理定義的線性主部為微分。為了湊出承上啟下的形式，又制造了兩種方法：其一，認為的微分就是的微分[7]；其二，定義[8]。基于這兩種方法之一，就變成了。

然而，定義與邏輯規則有相違背之處。因為對，是原因，是結果，同時，又是它的結果的原因，又是它的原因的結果。任何一對因果關系都是現實因果鏈中的一個環節，其反映到數學上就是。因此，除非特殊情況，否則，即。由此可見，定義是與現實不符的。可是，現行微積分原理在講如此這般的微分定義的同時，都在講復合函數；不僅如此，還要講參數方程和極坐標方程的求導和積分。

從表面上看，是否是似乎僅僅是個符號選擇問題，其實不然，這里關乎微分到底是Cauchy意義的還是的線性主部，否則，就處理不掉，Cauchy體系就形不成。微分概念是微積分原理中的根本性概念，它上承導數，下啟積分，如果微分概念有了原則性的錯誤，那么，該微積分原理的正確性值得進行進一步思考。

2關于現行微積分原理體系結構的思考

現行微積分原理中，首先介紹極限論，然后采用算增量，求比值及取極限三步求解導數，即用極限工具定義了導數。對微分定義之后，用導數來計算微分。不定積分是導數抑或是微分想當然的逆演繹，而不是可實現的逆演繹；定積分只是一個和式的極限，它與不定積分可以肯定的關系是，定積分借助于不定積分計算。這就是現行微積分原理的結構。

在定積分與不定積分是否可以統一的問題上，有兩派互不相同的觀點。到了二十世紀以后，以勒貝格為代表的數學家已不再提統一的問題，他們關注的是定積分的可積條件。這就是現行微積分原理的現狀。一般說來，理論是可以發展的，既然存在兩派的爭論，就有可能出現統一派戰勝非統派的局面，從而統一現行的不定積分和定積分，同時，糾正其中錯誤并形成合理的微積分原理。可事實上不然，因為用極限思想構建的微積分原理還有不足，以定積分為例，微分的逆演繹不是，也不可能是分割、求和、取極限，因此，無論如何，即使把這樣的定積分看作變上限的定積分后與反微分——不定積分湊出相同的結果，也不可能是反微分的演繹過程，因此，即使勉強統一，也不倫不類。且不說求和之前分割的原因莫名其妙，求和后的極限就更匪夷所思，因為極限不是過程，而是彼岸的結果。

現行微積分原理是微積分演化史中的一個過程，有其存在的歷史依據，應該說它就是完善的微積分原理建立之前的權宜性微積分原理，具有相當重要的理論意義和歷史必然性。完善的微積分原理結構是把自變量或因變量微化到一定程度就構成微分，微分的積化就構成反微分——積分，也就是說微分和積分是互逆演繹，導數就是微商，求和問題不過是確定積分范圍的積分。

3 關于現行微積分原理體系對具體問題解決的思考

作為應用方法，以牛頓和萊布尼茲思想為內容的，以萊布尼茲的和為表達形式的微積分方法是放之四海皆靈的；然而作為基礎理論，直到勒貝格，現行微積分原理中和的本質還存在爭議。

從宏觀上看，現行微積分原理在用它的微分定義錯誤地回答了萊布尼茲的后，又把萊布尼茲的改成了“和極限”。如果說與“極限和”可能同質不同量的話，那么和“和極限”既不同質又不同量。而再把萊布尼茲的“（即）”改成不定積分和求和問題（即所謂的定積分），那就是離題更遠。

從微觀上看，現行微積分原理也沒完全解決重要的具體問題，如問題。導數問題，從代數角度看是平均變化率和即時變化率問題；從幾何角度看是曲線的割線和切線的斜率問題。變化率和斜率不過是一個導數問題的兩個方面，因此，從任何一個角度看都等價于另一個角度。為直觀起見，我們不妨選取幾何角度進行分析和判斷。的模擬過程，就是割線轉化為切線的過程。在割線狀態下，割線與曲線有兩個交點，在割線轉化為切線后，切線是否與曲線只有一個交點？如果只有一個交點，那么，和是否都是？導數是否就是？到底應該否認還是應該重新定義代數結構？

通過如上的簡單陳述，我們不難發現：從宏觀上看，現行微積分原理所表述的存在一些爭議；從微觀上看，諸如這樣的重要問題也沒有回答（用極限回避了）。當然，我們不應責難柯西和勒貝格等數學家和傳授現行微積分原理的人們，因為，科學難題的解決并非易事。但是，對現行微積分原理體系的重新反思是很有必要的了。

現行微積分原理體系易讀性的思考

我們說現行微積分原理是較難讀懂的，是比較晦澀的[7]，是相對于本來的微積分原理的難度和現當代人的理解能力而言的。這種不應有的晦澀度是由如下幾個原因造成的：

1. 現行微積分原理以極限論為工具，因而，把極限論語言的晦澀（如語言）和極限論自身的理論困惑全部帶到微積分中來了。

2.由于極限論的局限性，給微積分原理的建立造成了不必要的迂回，使簡單問題復雜化。如，先用極限定義導數，再由導數定義微分，而且這個微分還是脫離原函數可逆系綜的有邏輯錯誤的微分，然后，再從微商繞回導數。又如，柯西把積分定義成，并且用傅立葉的表示，那么，式中的與是不是微分?柯西定義，式中的與有何異同？是否可以寫作？如果可以，則有，那么，“”與“”又是什么關系？定積分在解決應用問題時，積分元又是什么？為什么說對積分元要在求和之后再取極限才是精確值？當然，這是積分元在中，而在中累加就是精確值？在萊布尼茲和歐拉那里問題也這么復雜嗎？這種“復雜”是必須的嗎？和同構嗎？是偶然的嗎？在使用積分元時，有，在左端后，右端的是什么？令人不得要領。

3.本來，的本質揭示后，可以豐富實數理論，也可以解開一些重大的數學之謎。而現行這種不去回答本質的微積分原理，卻反過來要實數和可測集等理論為自己服務，結果，為了弄清幾個怪癖問題的可積性，還得再學實變函數。

就整個數學和數學作為其它科學的工具而言，微積分學和作為微積分基本原理和方法深化的微分方程和積分方程的作用之大是無與倫比的。可是，現行微積分體系卻比較晦澀難懂，很難說現行微積分原理滿足要求了。

5現行微積分原理對科學發展影響的思考

現行微積分原理的建設始自柯西，結束于勒貝格。只要查一查微積分演化史和科學史[3]，便會發現一個無可爭辯的事實：微積分基本方法是牛頓和萊布尼茲創建的，微積分的重要延伸性方法幾乎都是以歐拉、傅立葉、高斯為代表的數學家在1821年前創建的，力學成果是以拉格朗日為代表的數學、力學家創造的。雖然柯西1821年著出《分析教程》之后，物理學有麥克斯韋、普朗克和愛因斯坦的成果，力學也有彈性力學方面的成果，數學有以布爾巴基學派為代表的成果，但這大多都與微積分原理無關，不要說現行微積分原理到了1854年才基本形成，即使有關，也大多不是微積分原理的功績，因為，我們不可以想象一個有著許多根本性錯誤的微積分原理會推動科學進步。以微分方程理論為例，常微分方程是一切微分方程的基礎，一般常微分方程經分離變量后可化為形如的形式，然后，兩邊積分，便得到通解。事實上，按照現行微分定義有和，其中，，，從而有，由于定義，所以可以積出，而不能定義，因為，所以積不出。這種自相矛盾的微分方程原理很難推動微分方程求解方法的進步。值得慶幸的是，在現行微積分原理中萊布尼茲的和形式還得以保留，因此，隱藏在其背后的不為柯西、勒貝格等數學家所知的真正的微積分原理還不以人的意志為轉移地發生著作用，否則，柯西和黎曼之后的科學是不可想象的。

另一方面，以柯西為代表的極限派不承認，但龐加萊、李雅普諾夫、莫爾斯、托姆等的工作都是在[其中，]的基礎上展開的。可以得出，現行微積分原理體系對科學發展的推動作用不大，有時甚至產生了一定的負面作用。

6 結論

綜上所述，現行微積分原理是仍需要各位學者共同完善的微積分原理，也未能有效地解決自己應該解決的問題。我愿如王昆揚老先生所說的一樣“加入這個向傳統的束縛挑戰的行列”[3]，為推動微積分的發展不遺余力。

參考文獻

[1] 李文林.數學史概論（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2011.

[2] 龔升，林立軍.簡明微積分發展史[M].長沙:湖南教育出版社，2005.

[3] 王昆揚.關于Riemanm積分理論的本質缺陷及以Lebesgue積分理論取代之的看法[J].數學教育學報，1999，8(3):95-98.

[4] 王澤漢.微積分的不足及其改革途徑[J].哈爾濱工業大學學報.1992，24(3):99-102

[5] 米哈伊·列夫舍茨.微積分的再思考[J].數學的實踐與認識.2009，39(11):211-216.

[6] 李清文.關于極限和無限小的哲學思考——讀馬克思《數學手稿》的筆記[J].哈爾濱科學技術大學學報，1994，18(11):93-96.

[7] 林群.畫中漫游微積分[M].廣西師范大學出版社.1999.

[8] 張筑生.數學分析新講[M].北京:北京大學出版社.2010.

[9] 同濟大學數學系，高等數學[M].北京:高等教育出版社.2002.