構(gòu)造函數(shù)巧解題

函數(shù)思想是一種通過構(gòu)造函數(shù)實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的思想方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，許多問題如果利用函數(shù)思想，可使問題直觀化、簡單化，便于解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.

一、構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性解題

【例1】 已知(3x4+7x3+4x2-7x-5)5#8226;(3x4-7x3+4x2+7x-5)5=a0+a1x+a2x2+…+a40x40

.求a0+a2+a4+…+a40的值.

解析：設(shè)f(x)=(3x4+7x3+4x2-7x-5)5#8226;(3x4-7x3+4x2+7x-5)5，易知f(x)=f(-x).

從而f(x)是偶函數(shù)，

于是有a1=a3=a5=…=a39=0，

∴f(1)=(3+7+4-7-5)5#8226;(3-7+4+7-5)5=1024，

即a0+a1+a2+…+a40=a0+a2+…+a40＝1024 .

二、構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解題

【例2】 設(shè)實(shí)數(shù)a＞1＞b＞0，問a，b滿足什么條件時，不等式lg(ax-b)＞0的解集是(1，+∞).

解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=lg(ax-bx)，

∵ax-bx＞0

，即(ab)x＞1，且ab＞1，

∴x∈(0，+∞).

依題意，只需f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，且f(1)=0 .

∵a＞1＞b＞0，

∴ax和(-b)x在(0，+∞)上都隨x的增大而增大，故f(x)=lg(ax-bx)是(0，+∞)上的增函數(shù).

又f(1)=lg(a-b)，令lg(a-b)=0，得a-b=1，即a，b滿足的關(guān)系為a=b+1.

【例3】 是否存在實(shí)數(shù)a，使不等式

1n+1+1n+2+1n+3+…+12n＞112loga(a-1)+23

對于一切大于1的自然數(shù)n都恒成立？如果存在，試確定a的取值范圍，否則說明原因.

解析：引進(jìn)函數(shù)f(n)=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n(n∈Z，且n≠1）.

假設(shè)存在題意中要求的實(shí)數(shù)a，那么112loga(a-1)+23＜|f(n)|min.

∵f(n)-f(n-1)=12n-1n=1n＞0，

∴f(n)為增函數(shù)，故|f(n)|min=f(2)=712，

由112loga(a-1)+23＜712

解得1＜a＜1+52.

∴所求的實(shí)數(shù)a存在，且范圍是(1，1+52).

三、構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象的對稱性解題

【例4】 已知：x1是方程x+lgx=3的一個根，x2是方程x+10x=3的一個根，則x1+x2的值是().



A.6B.3C.2D.1

解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=lgx，g(x)=10x，h(x)=3-x，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個函數(shù)的圖象，易知g(x)與

f(x)的圖象關(guān)于y=x對稱，x1和x2分別是g(x)和f(x)與

直線y=x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由y=x與y=3-x解得交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為32，所以x1+x22=32，即得x1+x2=3.

四、反客為主，再構(gòu)函數(shù)解題

【例5】 設(shè)y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1，若t∈［-2，2］時，y恒取正值，求x的范圍.

解析：設(shè)y=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1，則f(t)是關(guān)于t的一次函數(shù)，當(dāng)t∈［-2，2］時，f(t)＞0恒成立，故有f(-2)＞0，f(2)＞0，



即log22x-4log2x+1＞0，log22x-1＞0，



解得0＜x＜12或x＞8.

(責(zé)任編輯 金 鈴）