淺析高考試題中的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步抽象和概括，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識.一直以來，高考數(shù)學(xué)試卷的命題原則著力于“考查基礎(chǔ)知識、注重數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)實(shí)際能力”.那么，近幾年來的高考試卷又是如何反映數(shù)學(xué)思想的呢？下面結(jié)合2010年各省市高考數(shù)學(xué)試卷中的選擇、填空題做個淺析.

一、函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題；方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式或方程與不等式組)，然后通過解方程或不等式(組)使問題獲解.

【例1】(2010，全國，文Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=|lgx|，若a≠b，且f(a)=f(b)，則a+b的取值范圍是（）.

 A.(1，+∞) B.［1，+∞)

C.(2，+∞)D.［2，+∞) 

解析：由方程f(a)=f(b)得|lga|=|lgb|，設(shè)0＜a＜b，則 lga+lgb=0.∴ab=1.∴a+b＞2ab=1，從而選C.

本小題主要考查函數(shù)的圖象、性質(zhì)及基本不等式的知識，較好體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用.

一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，它能有效地揭示事物運(yùn)動變化的規(guī)律，反映事物間的相互聯(lián)系;而方程思想則是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，是已知量和未知量的矛盾統(tǒng)一體，兩者有著密不可分的關(guān)系.

二、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，使抽象思維和形象思維在解題中相互作用，從而解決問題.

【例2】 (2010，全國，文Ⅰ)已知F是橢圓C的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交橢圓C于點(diǎn)D，且BF=2FD，則橢圓C的離心率為.

解析：如圖1，設(shè)D(xD，yD)，|BF|=b2+c2=a

，

作DD1⊥y軸于點(diǎn)D1，由BF=2FD得

|OF||DD1|=|BF||BD|=23，

所以|DD1|=32|OF|=32c

，

即xD=3c2，由橢圓的第二定義得|FD|=e(a2c-3c2)=a-3c22a，



又由|BF|=2|FD|得a=2a-3c2ae=33.

本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想，凸顯數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)：數(shù)研究形、形助于數(shù).

一般地，數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)量關(guān)系的，雖然數(shù)字化是很精確的，但若能用圖象適當(dāng)?shù)乇硎境鰜恚蜁钩蹩春茈y或很繁的問題變得容易和直觀，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.

三、分類與整合的思想

分類與整合的思想就是在解答數(shù)學(xué)問題時，會有多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后再把它們合并在一起，這種“合—分—合”的解題認(rèn)識就是分類與整合的思想.

【例3】(2010，全國，文Ⅰ)某學(xué)校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 種.(用數(shù)字作答) 

解析：根據(jù)題意，可分以下2種情況:(1)A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C13C24種不同的選法;(2)A類選修課選2門，B類選修課選1門，有C23C14種不同的選法.所以不同的選法共有C13C24+C23C14＝18+12＝30種.本小題主要考查分類計數(shù)原理、組合知識及分類與整合的數(shù)學(xué)思想. 

一般地，分類與整合是一種邏輯方法，更是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.有關(guān)這類的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置.

四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

化歸與轉(zhuǎn)化的思想是把未知解法的問題轉(zhuǎn)化為在已有知識和方法的范圍內(nèi)可解的問題的解題策略，其核心是把“生題”轉(zhuǎn)化為“熟題”.

【例4】 (2010，全國文Ⅰ)正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為( ).

A.23

B.33

C.23

D.63 

解析：因?yàn)锽B1∥DD1，所以BB1與平面ACD1所成角

和DD1與平面ACD1所成角相等，設(shè)DO⊥平面ACD1，

由等體積法得VD-ACD1=VD1-ACD

，即13S△ACD1#8226;DO=13S△ACD1#8226;DD1

.

設(shè)DD1=a，求得DO=33a，記DD1與平面ACD1所成角為θ，則sinθ=DODD1=33

，所以cosθ=63

.選D.

本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積法轉(zhuǎn)化求出D到平面AC的距離，是解決本題的關(guān)鍵所在，正是化歸與轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).

一般地，人們在解決數(shù)學(xué)問題時，常常是將待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個問題，使得出現(xiàn)的新問題是我們所熟悉的或者是容易解決的問題，也就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)化過程.由此可見化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決各類數(shù)學(xué)問題的基本思路和途徑，是一種重要的數(shù)學(xué)思想.

五、特殊與一般的思想

特殊與一般的思想是指有些特殊問題的解決，需要我們通過一般性規(guī)律的研究來處理；而對于具有一般性的問題，我們也常通過考察其特殊情況揭示其一般規(guī)律.

【例5】(2010，全國，理，Ⅱ)不等式x2-x-6x-1的解集為（）.

A.｛x|x＜-2，或x＞3｝



B. ｛x|x＜-2，或1＜x＜3｝



C. ｛x|-2＜x＜1，或x＞3｝



D. ｛x|-2＜x＜1，或1＜x＜3｝

解析：∵x2-x-6x-1＞0，∴(x-3)(x-2)x-1＞0，∴(x-3)(x+2)(x-1)＞0

，

由穿根法可得不等式的解集為｛x|-2＜x＜1，或x＞3｝，從而選C.

本小題主要考查分式不等式的解法，除了可用一般方法解不等式得到答案C以外，也可以通過特殊化方法求解，令x=4，x2-x-6x-1＞0成立，排除B、D；令x=-3，x2-x-6x-1＞0不成立，排除A，故選C.

一般地，這種特殊與一般的辯證思想往往貫穿于整個解題過程之中.特殊化可使我們對問題的認(rèn)識更加全面，而一般化則使我們對問題的認(rèn)識更加深刻.“從特殊到一般，再由一般到特殊”正是這一數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn).

六、有限與無限的思想

有限與無限的思想就是在解決數(shù)學(xué)問題時，常把無限化為有限來研究，或把有限化為無限來研究.

【例6】 (2010，全國，理)limx∞(1+13+132+…+13n

)=（）.

A.53 B.32 C. 2 D. 不存在

解析：由無窮等比數(shù)列（|q|＜1）前n項(xiàng)和公式S=a11-q得S=11-13=32，選B.

本小題主要考查無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和與極限知識，我們所使用的公式正是根據(jù)有限與無限的思想推導(dǎo)出來的.就本題而言， 1，

13，132，…13n

是一個無窮等比數(shù)列（公比q=13），是一個無限問題，要求其前n項(xiàng)和Sn，如果按常規(guī)來求那是不可能的，所以要化為有限問題來研究，這就用到極限知識.即

S=limx∞Sn=limx∞(1+13+132+…+13n）=limx∞(1-13n1-13)=32limx∞(1-13n)=32.

一般地，對有限的研究往往先于對無限的研究，因?yàn)橛邢迋€研究對象往往有章可循， 于是將對無限的研究化成對有限的研究，就成了解決無限問題的必經(jīng)之路.反之，當(dāng)積累了解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將有限問題轉(zhuǎn)化成無限問題來解決.利用極限思想使人們能夠從有限中認(rèn)識無限、從近似中認(rèn)識精確，做到了量變到質(zhì)變的飛躍．

當(dāng)然，從歷年的高考數(shù)學(xué)試題中所反映和要求掌握的數(shù)學(xué)思想還有很多，只有認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，掌握這些典型的數(shù)學(xué)思想，才能真正達(dá)到舉一反三的效果，而且真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也不僅僅是為了解題，它更大的意義是走出去，讓數(shù)學(xué)思想成為我們認(rèn)識和改造世界的源泉.

(責(zé)任編輯 金 鈴）