從哪里跌倒,從哪里爬起來
2011-12-31 00:00:00鐘雪花
中學教學參考·理科版 2011年11期
《函數》是高中數學的重要組成部分，它的知識點滲透于整個高中數學，是學生學習的一個難點，針對高三學生復習和解題中常見的一些錯誤，本文將從以下幾方面舉例剖析.
【例1】 如圖1所示，有一等腰三角形薄鐵片，其底板BC=4cm，AB=xcm，現將其按圖所示截取一個半圓（半圓圓心在底邊上，且與兩腰相切），半圓的面積為y，求函數y=f(x)的解析式及定義域.
錯解：作OA⊥BC于O，作OD⊥AB于D，
AO=AB2-BO2=x2-4，
OD=BO#8226;AOAB=2x2-4x，
∴y=12π#8226;OD2=π2#8226;4(x2-4)x2=2π(x2-4)x2，其定義域為（0，+∞）.
錯誤剖析：求出解析式后，忽視隱含條件對問題的限制，定義域求解出錯.
正解：如圖1，作OA⊥BC于O，作OD⊥AB于D，
則AO＝AB2-BO2=x2-4，
OD=BO#8226;AOAB=2x2-4x，
∴y=12π#8226;OD2=π2#8226;4(x2-4)x2=2π(x2-4)x2，
又在Rt△AOB中，AB＞BO，∴x＞2，
故y=2π(x2-4)x2，其定義域為(2，+∞).
【例2】 求函數y=5x2+4x+3的值域.
錯解：將函數化為yx2+4xy+3y-5=0，
∵x，y∈R，
∴方程yx2+4xy+3y-5=0有實根.
∴Δ≥0，即16y2-4y(3y-5)≥0，
∴y2+5y≥0y≤-5或y≥0.
∴函數值域為｛y|y≤-5或y≥0｝.
錯誤剖析：上述解法的錯誤在于沒有考慮到y=5x2+4x+3≠0，若把函數看成復合函數y=5u，u=x2+4x+3
，就不難找到錯解的原因，從而得出正確的解法與結論.
正解：令y=5u，u=x2+4x+3，u≠0.
即x2+4x+3≠0，∴x≠-1且x≠-3.
函數u=x2+4x+3的圖像如圖2所示：
從圖像可直觀得到：-1≤u＜0或u＞0;
函數y=5u(-1≤u＜0或u＞0)
的圖像如圖3所示，從而可得函數y=5u(-1≤u＜0或u＞0)，
即y=5x2+4x+3(x≠-1且x≠-3)
的值域為｛y|y≤-5或y＞0｝.
【例3】 求函數y=log12(x2-4x+3)的單調區間，并指出在每一個單調區間上的單調性.
錯解：設u=x2-4x+3，則y=log12(x2-4x+3)在［2，+∞)上為減函數，在(-∞，2］上為增函數.
錯誤剖析：忽略了對數函數的定義域.
正解：由不等式x2-4x+3＞0得函數的定義域為(-∞，1)∪(3，+∞).
設u=x2-4x+3，則y=log12u，又u=x2-4x+3=(x-2)2-1，故由二次函數的性質知：
當x≥2時，u=x2-4x+3為增函數；
當x≤2時，u=x2-4x+3為減函數.
因為函數定義域為(-∞，1)∪(3，+∞)且y=log12u為減函數，所以函數y=log12(x2-4x+3)在(-∞，1)為增函數，在(3，+∞)為減函數.
【例4】 已知偶函數y=f(x)滿足條件f(x+1)=f(x-1)，且當x∈［-1，0］時，f(x)＝3x+49，求f(log135)的值.
錯解：由f(x+1)=f(x-1)知f(x+2)=f(x)，函數y=f(x)是以2為周期的周期函數.
因為log135∈(-2，-1)，
log135+2=log1359∈(0，1)，
又函數f(x)為偶函數且x∈［-1，0］，f(x)=3x+49.
當x∈［-1，0］時，f(x)=3x+49.
∴f(log135)=f(log135+2)=f(log1359)=95+49=10145.
錯誤剖析：在由“f(x)為偶函數且x∈［-1，0］，f(x)=3x+49”推導出“x∈［-1，0］時，f(x)=3x+49”這一步時，錯誤地利用了偶函數概念f(-x)=f(x).
正解：由f(x+1)=f(x-1)知，f(x+2)=f(x)，函數y=f(x)是以2為周期的周期函數.
因為log135∈(-2，-1)，log135+2=log1359∈(0，1)，
又函數f(x)為偶函數且x∈［-1，0］，f(x)=3x+49.
當x∈［-1，0］時f(x)=3x+49，
所以f(log135)=f(log135+2)=f(log1359)=
3-log1359+49=59+49=1.
【例5】 若關于x的方程22x+2x#8226;a+a+1=0有實根，求實數a的取值范圍.
錯解：令t=2x，則方程化為t2+at+a+1=0.
∵原方程有解，∴t2+at+a+1=0有實根，
∴Δ=a2-4(a+1)=a2-4a-4≥0，
解得a≤2-22或a≥2+22.
錯誤剖析：利用換元t=2x，把原方程化為一元二次方程，忽視了t＞0的限制.引入新元，要注意新舊變量范圍的一致性.
正解：令t=2x，
則方程化為t2+at+a+1=0. ①
原方程有實根等價于方程①有正根.
設f(t)=t2+at+a+1，
方程①有正根，則
f(0)＜0或f(0)≥0，Δ=a2-4(a+1)≥0，-a2＞0.
解之得，a＜-1或-1≤a≤2-22，
綜上得a≤2-22，
即實數a的取值范圍是(-∞，2-22］.
【例6】 已知f(x)=lg［3ax2+(2a+1)x+1］的值域為R，求a的取值范圍.
錯解： 要使f(x)=lg［3ax2+(2a+1)x+1］的值域為R，則須3ax2+(2a+1)x+1＞0恒成立，
故a＞0，Δ=(2a+1)2-12a＜0，
2-32＜a＜2+32.
錯誤剖析：錯誤原因是把問題與命題 “已知f(x)=lg［3ax2+(2a+1)x+1］的定義域為R，求a的取值范圍”相混淆.一般地，對于這個問題，若定義域為R，則應轉化為不等式3ax2+(2a+1)x+1＞0恒成立；值域為R應轉化為g(x)=3ax2+(2a+1)x+1的值域包含(0，+∞).
正解：要使f(x)=lg［3ax2+(2a+1)x+1］的值域為R，則g(x)=3ax2+(2a+1)x+1的值域包含(0，+∞)，即函數取值取到所有正數.
① 當a=0時，g(x)=x+1能取到(0，+∞)；
② 當a≠0時，須有
a＞0，Δ=(2a+1)2-12a≥00＜a≤2-32或a≥2+32.
∴0≤a≤2-32或a≥2+32.
【例7】 函數y=lgx的圖象經過變換得出函數y＝lg|x-1|的圖象，畫出變換過程中的所有圖象.
錯解 ：
錯誤剖析：沒弄清對稱變換的實質.由y=f(x)的圖象得y=f(|x+a|)(a≠0)需先對稱變換再左右平移，由y=f(x)的圖象得y=f(|x|+a)(a≠0)的圖象，需先左右平移再對稱變換.
正解：
(責任編輯 金 鈴）
