從解一道高考題談補形技巧

【題目】（2010，全國Ⅰ，12）已知半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB＝CD＝2，則四面體ABCD的體積的最大值為().

A.233B.433C.23D.833

題目的原型出自于人教版高中數學第二冊（下）P73例3：P、A、B、C是球O面上的四個點，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝1，求球的體積與表面積.

該題在卷Ⅰ中應該算是一個難題，考試結束后，許多考生反映不知道該從何下手.其實這個問題的數學本質是：已知四面體的一組對棱長，求其體積的問題.

如果孤立地考慮四面體的體積，很難把已知條件與體積聯系起來，注意到四面體每組對棱所在直線都是異面直線，過每組對棱可作一對平行平面，三對平行平面圍成一個平行六面體，把四面體ABCD與一個平行六面體聯系起來，問題便迎刃而解了.

解：設異面直線AB、CD間的距離為h，夾角為θ，將四面體ABCD補形成為平行六面體，則該平行六面體的底面積為S=12AB#8226;CD#8226;sinθ，高為h，那么平行六面體的體積為

V6=S#8226;h=12h#8226;AB#8226;CD#8226;sinθ，則ABCD的體積為

V4=13V6=16h#8226;AB#8226;CD#8226;sinθ

，當異面直線AB、CD之間距離最大，即以AB、CD為直徑的球內的小圓所在平面平行，那么異面直線AB、CD的公垂線最大為h=23，且異面直線AB、CD夾角為π2時，四面體ABCD的體積最大，最大體積為V4=16×23×2×2×sinπ2=433.

實質上，補形是解決這類問題的一個很好的方法，它在立體幾何中有廣泛的運用，通常有以下幾種類型.

一、補形為正方體

當問題沒有給出具體的圖形，只是給出了相關點、線、面的關系（如平行、垂直等），要判斷某些元素的位置關系時，通常可考慮構造正方體模型，把這些線、面變成正方體中的線段或某一個面，進而加以解決.

【例1】 由空間上一點O出發的四條射線，兩兩所成的角都相等，求這個角．

解：先構造一個正方體，正方體的中心O到四個頂點A、B、C、D連線所夾的角相等，則∠AOD就是所求的角．

設正方體的棱長為a，則OA=OD=32a，AD=2a，

cos∠AOD

=OA2+OD2-AD22OA#8226;OD

=－13，

則所求角為π－arccos13．

評注：這個例子是把一個正四面體內接于一個正方體中．

因此，在立體幾何中一般能用“正四面體”解決的問題都可用“正方體”模型解決；正四面體的體積是它外接“正方體”體積的13，即V正四面體=13V正方體，并可由這個模型推導出正四面體的體積V=212a3（a為四面體的棱長）．

【例2】 已知PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，PA=AC=BC，求AB與PC所成的角．

解：構建一個正方體，如圖2，PC與AB兩異面直線所成的角為DB與AB所成的角，而△ABD為等邊三角形，∴PC與AB成60°角．

評注：此題為巧建“正方體”模型快速求解兩異面直線所成的角.也可用正方體模型來快速判定兩直線的位置關系，如異面、平行、相交．

二、補形為長方體

在某些類似的問題中，當用正方體模型解決不了時，可考慮構建長方體模型. 

【例3】 由球O的球面上一點P作球的兩兩垂直的三條弦，PA、PB、PC，且PA=3，PB=5 ，PC=15 ，求球O的半徑.

分析：構建長方體，以P為頂點的三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，球O就是這個長方體的外接球，對角線PD就是球O的直徑，設半徑等于R，則有2R=PA2+PB2+PC2=23，R=232.

評注：從同一點出發的三條棱兩兩相互垂直，其長度分別為a、b、c ，就可以構建長方體模型，外接圓的直徑就是對角線的長 ，所以2R=a2+b2+c2 .

【例4】 已知四面體的四個面都是邊長分別是5、6、7的全等三角形，求這四面體的體積．

分析：若按常規思路，這個問題解答很煩．

通過分析已知條件，這個四面體是等腰四面體，構建長方體如圖3：其中四面體D1AB1C符合條件．令AC=5，B1C=6，AB1=7，由勾股定理得AB2=19，BC2=6，BB21=30，∴V四面體=13V長方體=1319×6×30=295．

評注：若四面體是等腰四面體（對棱相等的

四面體），則它外接一個長方體，并可把它推

廣：其中四面體的體積是外接長方體體積的13．

三、補形為平行六面體

如果說正四面體、等腰四面體（即對棱相等的四面體）分別可以用正方體、長方體模型來解決的話，那么對于一般的四面體（任意的三棱柱）則可以通過構造平行六面體模型來解決.

【例5】 如圖4-1，在四面體ABCD中，設AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為π3，求四面體ABCD的體積.

解：如圖4-2，平行六面體中四邊形A1DB1C的面積為S=4×12×12×32sinπ3=34

，平行六面體的高為AB與CD的距離，等于2，∴平行六面體的體積為V6=34×2=32

，從而易得四面體ABCD的體積為V4=13V6=12

.

評注：該題和2010年全國卷的第12題的本質完全相同，區別在于一個是求定值，一個是求最值.

一般地，過四面體對棱分別作三對平行平面，則可將四面體補成它的外接平行六面體，將平行六面體的四個角切掉，則可得它的內接四面體.利用這種關系可將四面體問題轉化為平行六面體來研究（正方體、長方體為其特殊情況）.

【例6】 已知四面體對棱間的距離分別為h1、h2、h3，求證：此四面體的體積不小于

13h1h2h3

.

分析：此平行六面體的體積V6=l側棱#8226;S直截面，易知l側棱≥h1，S直截面≥h2h3，故四面體的體積V3=13V6≥13h1h2h3.

利用四面體與它的外接平行六面體之間的聯系，不僅可以通過平行六面體來研究四面體的體積，還可以通過平行六面體來研究四面體的有關性質.

【例7】 求證：四面體三組對棱分別相等的充要條件是它的4個面的面積相等.

分析：考察四面體的外接平行六面體.首先，如果四面體的三組對棱分別相等，易知它的外接平行六面體是長方體.設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則四面體的每個面都是邊長為a2+b2，b2+c2，c2+a2的三角形，從而面積相等.

其次，設四面體的四個面的面積相等，如圖5，作CP1⊥AB，垂足為P1，DQ1⊥AB，垂足為Q1，由△CAB與△DAB面積可得CP1=DQ1.進一步，有Rt△CP1Q1≌Rt△DQ1P1，于是CQ1=DP1.這樣，在四面體CP1DQ1中便有兩組對棱相等了，取CD中點M與P1Q1的中點N1，可知MN1是CD與AB的公垂線段.而CD與AB的公垂線段只有一條，所以M1與M重合且N1與N重合，從而有MN與AB、CD都垂直，MN與上、下底面都垂直.同理，BC、AD中點的連線與左、右側面都垂直.這樣，四面體的外接平行六面體為長方體，四面體的三組對棱相等.

三組對棱相等的四面體稱為等腰四面體.顯然，等腰四面體的外接平行六面體為長方體.而這里證明的結論也可以敘述為：四面體為等腰四面體的充要條件是它的4個面的面積相等.

因此在高考復習中，一定要強調補形方法在立體幾何中的應用，但要注意找出補形后的六面體和原來四面體的體積關系.

(責任編輯 金 鈴）