一道數學中考題的一題多解

數學是思維的體操.數學一題多解的訓練不僅讓學生體驗到成功的喜悅，而且促進學生綜合運用各種數學知識解決問題的能力的發展，更有利于開拓思維的靈活性.以濱州市2008年中等學校招生考試數學試題第21題為例給出一題多解的方法.

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點，試判斷EC與EB的位置關系，并寫出推理過程.

證法1：EC⊥EB.下面將進行證明.

過點C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD是矩形，故AF=DC=1，AD=FC.

在Rt△BFC中，BF=AB—AF=1，BC=3，

由勾股定理可算得CF=22，

則AD=CF=22，故DE=AE=12AD=2.

在Rt△ABE和Rt△CDE中，由勾股定理可算得

EB2=AE2+AB2=6，

EC2=DE2+CD2=3，



故EB2+EC2=9=BC2，

∴∠CEB=90°，

∴EB⊥EC.

 點評：這種輔助線是梯形中常用的輔助線作法，把直角梯形分割成矩形和直角三角形，再運用勾股定理和勾股定理的逆定理來證直角.

證法2：同法1可得DE=AE=12AD=2，

即DCAE=12=22，DEAB=22.

故DCAE=DEAB，又∠D=∠A=90°，

所以△CDE∽△EAB，所以∠DCE=∠AEB.

因為∠DCE+∠DEC=90°，所以∠AEB+∠DEC=90°，可得∠CEB=90°，即EB⊥EC.

點評：這種證法是巧妙地運用這些線段長度的特殊性結合三角形相似的知識來證明垂直.

證法3：延長CE交BA的延長線于點F.

由AAS或ASA可證得△CDE≌△FAE，

所以AF=CD=1，

CE=EF，

可得BF=BA+AF=3=BC，

故△BCF是等腰三角形.

又CE=EF，由等腰三角形三線合一的性質可證得EB⊥EC.

點評：這種輔助線也是梯形中常用的輔助線作法，一般涉及腰上中點的問題，經常用這種輔助線再結合三角形知識來解決.

證法4：過E點作EF∥AB，交CB于F，因為AB∥EF∥CD，E是AD的中點，所以F是BC的中點，所以EF是梯形的中位線，所以EF=12（CD+AB）=32，

又BC=3，所以EF=12BC，由“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”可得∠CEB=90°，即EB⊥EC.

點評：這種輔助線也是梯形中常用的輔助線作法，非常巧妙地運用梯形中位線和直角三角形特殊的判定方法來解決.

(責任編輯 金 鈴）