軸對(duì)稱中極值問(wèn)題的分析與解法

軸對(duì)稱是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，而極值問(wèn)題一直以來(lái)是中考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，我們比較熟悉和常見(jiàn)的極值問(wèn)題大多出現(xiàn)在一次函數(shù)或者二次函數(shù)的內(nèi)容里，實(shí)際上，在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，還有一類極值問(wèn)題是和軸對(duì)稱知識(shí)相結(jié)合的.由于這類問(wèn)題在教材中出現(xiàn)并不多，所以教師和學(xué)生比較容易忽略.近年來(lái)，這類問(wèn)題逐漸出現(xiàn)在各地市的中考題中，有的是作為填空選擇題中的中難度題型來(lái)考查，有的甚至是放在壓軸題中考查.這類題型體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想，較好地考查學(xué)生的觀察、探究、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)軸對(duì)稱的應(yīng)用價(jià)值和豐富的內(nèi)涵.

人教版八年級(jí)上冊(cè)第十二章《軸對(duì)稱》中有這樣一道探究題，就是利用軸對(duì)稱解決極值問(wèn)題的經(jīng)典問(wèn)題：

探究：如圖1，要在燃?xì)夤艿溃焐闲藿ㄒ粋€(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

分析：我們可以把管道近似地看成一條直線l，問(wèn)題就是要在l上

找一點(diǎn)C，使AC與CB的和最小.設(shè)B′是l的對(duì)稱點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為要使AC與C B′的和最小.因?yàn)樵谶B接A B′的線中，線段A B′最短.因此，線段A B′與直線 l的交點(diǎn)C的位置即為所求.

為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線 l上取任意一點(diǎn)C′，連接AC′，B′C′，BC′.因?yàn)橹本€l 是點(diǎn)B、B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，C′在 l上，所以CB=CB′，C′B=C′B′.

∴AC+CB=AC+CB′=AB′.

在△AC′B′中，

∵AB′

∴AC+CB

即AC+CB最小.

這類問(wèn)題的特征是:在一條直線的同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)，要求在直線上找到一個(gè)點(diǎn)，使它到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最短.在解決這類問(wèn)題時(shí)，軸對(duì)稱起到一個(gè)重要的橋梁的作用.解決這類問(wèn)題的方法是:作出其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，通過(guò)軸對(duì)稱，同側(cè)一點(diǎn)映射到直線的另一側(cè)，而不改變路徑的總長(zhǎng)度，從而利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”使問(wèn)題得到解決.又如：

【例1】 △ABO內(nèi)有一點(diǎn)P，在OA和OB邊上分別找出點(diǎn)M、N，

使△PMN的周長(zhǎng)最小.

解:只要找出點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，連結(jié)P1P2，

交OA、OB于M、N，此時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)為PM+PN+MN= P1M+P2N+MN=P1P2為最小.

【例2】 如圖3-1，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，且BE=3，EC=1，

P是BD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PE＋PC的最小值是多少？

分析：正方形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線BD所在的直線是其中一條對(duì)稱軸，

點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)就是A點(diǎn)，因此，連接AE交BD于P，

PE+PC=PE+PA=AE為最小.又AE=32+42=5，故此最小值是5.

【例3】 如圖4，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)M、N分別是AD，DC邊上的中點(diǎn)，則MP+NP的最小值是() .

A.2 B.1C.3D. 4

分析：根據(jù)菱形的軸對(duì)稱性先作出點(diǎn)N關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱點(diǎn)N′，

即BC的中點(diǎn)，則PN=PN′，連接MN′與AC交于一點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到

該點(diǎn)時(shí)，MP+NP取最小值MN′，此時(shí)，MN′=AB=1.故選B.

【例4】 如圖5，在等腰梯形ABCD中，AD ∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，

直線MN為等腰梯形ABCD的對(duì)稱軸，P為MN上一動(dòng)點(diǎn)，

那么PC+PD的最小值是 .

分析：等腰梯形是軸稱圖形，過(guò)兩底中點(diǎn)的直線是它的對(duì)稱軸.

點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)就是A點(diǎn)，因此，連接AC交MN于點(diǎn)P，

則PC+PD=PA+PC=AC為最小.又AB=CD=AD=2，∠B=60°，所以∠DAC=∠ACD=∠ACB=30°，∠BAC=90°，AB=2，故BC=4，AC=42-22=23

【例5】 AB為⊙O的直徑，AB=2，OC是⊙O的半徑，OC⊥AB，點(diǎn)D在圓O上，

AD=2CD，點(diǎn)P是半徑OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PA+PD的最小值是 .

分析：只要找出其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于半徑OC的對(duì)稱點(diǎn)，而圓是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)A和點(diǎn)B

關(guān)于半徑OC所在的直線對(duì)稱，所以連接BD交OC于P，故PA+PD=PB+PD=BD為最小.又因?yàn)椤鰽BD是含有30°角的直角三角形，所以這個(gè)值是3.

上面的幾例都是巧妙地利用正方形 、菱形 、等腰梯形、圓等這些圖形是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解，圖中的某個(gè)定點(diǎn)都有現(xiàn)成的對(duì)稱點(diǎn)，只須細(xì)心地觀察圖形，找到這個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)就可以找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【例6】 如圖7-1，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，且點(diǎn)A可從他的小屋B向西行8km、 再向北行7km 到達(dá).他想把馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他完成這件事情所走的最短路程是多少？

解：作出點(diǎn)A關(guān)于小河南岸MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，

連結(jié)A′B交MN于點(diǎn)P，則A′B就是最短路線.

在Rt△A′CB中，由勾股定理，得：

A′B=82+(7+4+4)2=17(km).

∴他要完成這件事情所要走的最短路線是17km.

本題運(yùn)用軸對(duì)稱構(gòu)造直角三角形，并用勾股定理計(jì)算最小值.

【例7】 如圖8，正比例函數(shù) y=12x的圖像與反比例函數(shù)ｙ=

kx（ｋ≠0）在第一象限的圖象交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作 ｘ軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，已知 △OAM的面積為1.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如果點(diǎn)B為反比例函數(shù)在第一象限上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，在 ｘ軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小.

解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ａ，ｂ），則b=ka，

∴ab=k.

∵△OAM 的面積=12ａｂ=1，∴k=2.

∴反比例函數(shù)的解析式為y=2x.

（2）由y=2x，y=12x

得x=2，y=1，



∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）.

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-1），連接BC交x軸于點(diǎn)P，

此時(shí)PA+PB=PC+PB=BC為最小.

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），

∴2=m+n，-1=2m+n，

∴m=-3，n=5.

∴BC的解析式為y=-3x+5.

當(dāng)y=0時(shí)，x=53，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（53，0）.

以上是軸對(duì)稱中的極值問(wèn)題在函數(shù)中的應(yīng)用.通過(guò)對(duì)軸對(duì)稱中的極值問(wèn)題的探究，使學(xué)生經(jīng)歷了“問(wèn)題情境—建立模型-求解、解釋、應(yīng)用拓展”的數(shù)學(xué)過(guò)程，提煉出這類問(wèn)題特征和解決這類問(wèn)題方法和關(guān)鍵所在，體會(huì)了數(shù)形結(jié)合、化歸的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生的思維能力得到進(jìn)一步的提高和發(fā)展.

(責(zé)任編輯 金 鈴）